Calcule o comprimento da curva .

Passo 1

Vamos calcular o comprimento da curva no intervalo de . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo, especificamente a fórmula de comprimento de arco. Precisaremos derivar a função, aplicar a fórmula do comprimento de arco e resolver a integral resultante.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos elevar a derivada ao quadrado:

Passo 4

A fórmula do comprimento de arco é:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Para resolver a integral, fazemos uma substituição que facilita o cálculo. Seja , então e .
Substituindo na integral:
Simplificando:
Essa integral pode ser resolvida utilizando métodos de integração avançados, resultando em:

Resposta

O comprimento da curva no intervalo de é aproximadamente 4,123 unidades.

Exercícios relacionados

Determine, descreva e represente geometricamente o domínio das funções abaixo: ;
Calcule:
Calcule o volume do sólido obtido pela revolução da curva , e pela reta em torno do eixo .
Determine, descreva e represente geometricamente o domínio das funções abaixo: ;