Calcule o comprimento da curva
.
Passo 1
Vamos calcular o comprimento da curva
no intervalo de
. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo, especificamente a fórmula de comprimento de arco. Precisaremos derivar a função, aplicar a fórmula do comprimento de arco e resolver a integral resultante.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos elevar a derivada ao quadrado:
Passo 4
A fórmula do comprimento de arco é:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Para resolver a integral, fazemos uma substituição que facilita o cálculo. Seja
, então
e
.
Substituindo na integral:
Simplificando:
Essa integral pode ser resolvida utilizando métodos de integração avançados, resultando em:
Resposta
O comprimento da curva
no intervalo de
é aproximadamente 4,123 unidades.
Exercícios relacionados
Determine, descreva e represente geometricamente o domínio das funções abaixo:
;
Calcule:
Calcule o volume do sólido obtido pela revolução da curva
, e pela reta
em torno do eixo
.
Determine, descreva e represente geometricamente o domínio das funções abaixo:
;