Determine, descreva e represente geometricamente o domínio das funções abaixo:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar, descrever e desenhar geometricamente o domínio da função
. Isso envolve entender de onde a função está “valendo” ou seja, quais valores de
e
fazem a função existir. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra, especialmente envolvendo raízes e frações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função com uma raiz quadrada como essa existir, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos que garantir que:
Além disso, o denominador da fração não pode ser zero, porque não dá para dividir por zero. Então, também precisamos garantir que:
Passo 3
Vamos analisar a fração
. Para que uma fração seja maior ou igual a zero, o numerador e o denominador precisam ter o mesmo sinal, ou seja, ambos positivos ou ambos negativos.
Então, temos duas situações:
-
Numerador e denominador positivos:
-
Numerador e denominador negativos:
Passo 4
Vamos resolver cada uma dessas situações separadamente.
Situação 1: Numerador e denominador positivos
A segunda inequação representa o interior de um círculo com raio 2 e centro na origem.
Situação 2: Numerador e denominador negativos
A segunda inequação aqui representa o exterior de um círculo com raio 2 e centro na origem.
Passo 5
Agora, vamos juntar as duas situações para descrever todo o domínio.
- Primeira parte do domínio: Pontos dentro do círculo
e abaixo da parábola . - Segunda parte do domínio: Pontos fora do círculo
e acima da parábola .
Isso significa que o domínio é composto por duas regiões: uma dentro do círculo e abaixo da parábola, e outra fora do círculo e acima da parábola.
Passo 6
Para representar geometricamente, vamos imaginar:
- Um círculo com raio 2 centrado na origem.
- Uma parábola que abre para cima, definida por
.
As regiões que fazem parte do domínio são:
- Dentro do círculo e abaixo da parábola.
- Fora do círculo e acima da parábola.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
que estão:
- Dentro do círculo
e abaixo da parábola . - Fora do círculo
e acima da parábola .
Geometricamente, o domínio consiste em duas regiões distintas no plano
: uma dentro do círculo e abaixo da parábola, e outra fora do círculo e acima da parábola.
Exercícios relacionados
Calcule o volume do sólido obtido pela revolução da curva
, e pela reta
em torno do eixo
.
Calcule o comprimento da curva
.
Determine, descreva e represente geometricamente o domínio das funções abaixo:
;
Determine se as sequências convergem ou divergem e encontre o seu limite.