Determine, descreva e represente geometricamente o domínio das funções abaixo: ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar, descrever e desenhar geometricamente o domínio da função . Isso envolve entender de onde a função está “valendo” ou seja, quais valores de e fazem a função existir. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra, especialmente envolvendo raízes e frações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função com uma raiz quadrada como essa existir, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos que garantir que:
Além disso, o denominador da fração não pode ser zero, porque não dá para dividir por zero. Então, também precisamos garantir que:

Passo 3

Vamos analisar a fração . Para que uma fração seja maior ou igual a zero, o numerador e o denominador precisam ter o mesmo sinal, ou seja, ambos positivos ou ambos negativos.
Então, temos duas situações:
  1. Numerador e denominador positivos:
  2. Numerador e denominador negativos:

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas situações separadamente.
Situação 1: Numerador e denominador positivos
A segunda inequação representa o interior de um círculo com raio 2 e centro na origem.
Situação 2: Numerador e denominador negativos
A segunda inequação aqui representa o exterior de um círculo com raio 2 e centro na origem.

Passo 5

Agora, vamos juntar as duas situações para descrever todo o domínio.
  • Primeira parte do domínio: Pontos dentro do círculo e abaixo da parábola .
  • Segunda parte do domínio: Pontos fora do círculo e acima da parábola .
Isso significa que o domínio é composto por duas regiões: uma dentro do círculo e abaixo da parábola, e outra fora do círculo e acima da parábola.

Passo 6

Para representar geometricamente, vamos imaginar:
  • Um círculo com raio 2 centrado na origem.
  • Uma parábola que abre para cima, definida por .
As regiões que fazem parte do domínio são:
  1. Dentro do círculo e abaixo da parábola.
  2. Fora do círculo e acima da parábola.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pontos que estão:
  1. Dentro do círculo e abaixo da parábola .
  2. Fora do círculo e acima da parábola .
Geometricamente, o domínio consiste em duas regiões distintas no plano : uma dentro do círculo e abaixo da parábola, e outra fora do círculo e acima da parábola.

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