Calcule: integral tg^2(2 t) sec ^4(2 t) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos para resolver é a integral de em relação a . Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente no tópico de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que sec^4(2t) = (sec^2(2t))^2 = (1 + tan^2(2t))^2 . Vamos aplicar isso para :

Passo 3

Agora, substituímos integral tan^2(2t) cdot (1 + tan^2(2t))^2 dt na integral:
integral tan^2(2t) cdot (1 + 2tan^2(2t) + tan^4(2t)) dt = integral (tan^2(2t) + 2tan^4(2t) + tan^6(2t)) dt
Vamos expandir a expressão dentro da integral:

Passo 4

Essa integração pode ficar complicada, então vamos usar a substituição. Vamos definir:
u = tan(2t)
Então, a derivada de dudt = 2sec^2(2t) implies dt = du2sec^2(2t) em relação a é:

Passo 5

Agora, expressamos a integral em termos de integral u^2 cdot sec^4(2t) cdot du2sec^2(2t) = 12 integral u^2 cdot sec^2(2t) du :
12 integral u^2(1 + u^2) du = 12 integral (u^2 + u^4) du
Como , substituímos novamente:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
12 ( integral u^2 du + integral u^4 du ) = 12 ( u^33 + u^55 ) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, voltamos para a variável original 12 ( tan^3(2t)3 + tan^5(2t)5 ) + C = tan^3(2t)6 + tan^5(2t)10 + C substituindo :

Resposta

A integral de tan^3(2t)6 + tan^5(2t)10 + C é:

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