Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos para resolver é a integral de em relação a . Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente no tópico de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que . Vamos aplicar isso para :

Passo 3

Agora, substituímos na integral:
Vamos expandir a expressão dentro da integral:

Passo 4

Essa integração pode ficar complicada, então vamos usar a substituição. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, expressamos a integral em termos de :
Como , substituímos novamente:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, voltamos para a variável original substituindo :

Resposta

A integral de é:

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Determine, descreva e represente geometricamente o domínio das funções abaixo: ;
Calcule o comprimento da curva .
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