Calcule o volume do sólido obtido pela revolução da curva
, e pela reta
em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular o volume do sólido que resulta ao girar a curva
e a reta
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos (ou anéis), que é uma técnica de cálculo usada em cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde a curva
e a reta
se encontram. Isso vai nos dar os limites de integração.
Igualando as duas equações:
Vamos rearranjar:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fatorar ou usar a fórmula quadrática. Vamos usar a fatoração:
Então, as soluções são:
Isso significa que as duas curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos identificar qual das duas funções está acima da outra entre
e
. Isso é importante para determinar o raio externo e interno do nosso anel.
Vamos escolher um valor de
dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Para
:
Para
:
Como
, a reta
está acima da curva
nesse intervalo.
Passo 4
Vamos usar o método dos anéis para calcular o volume. Esse método envolve integrar a área de anéis infinitesimais (diferença entre dois círculos) ao longo do eixo de rotação.
A fórmula para o volume
é:
Onde:
-
é a função que está mais acima (raio externo). -
é a função que está mais abaixo (raio interno). -
e são os limites de integração.
Passo 5
Vamos identificar
e
:
-
(raio externo) -
(raio interno)
Os limites de integração são de
até
.
Então, a integral para o volume fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, vamos expandir as expressões:
Substituindo na integral:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Agora, a diferença:
Multiplicando por
:
Resposta
O volume do sólido obtido pela revolução das curvas é aproximadamente
unidades cúbicas.
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Calcule o comprimento da curva
.
Determine, descreva e represente geometricamente o domínio das funções abaixo:
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