Calcule o volume do sólido obtido pela revolução da curva , e pela reta em torno do eixo .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular o volume do sólido que resulta ao girar a curva e a reta em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos (ou anéis), que é uma técnica de cálculo usada em cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde a curva e a reta se encontram. Isso vai nos dar os limites de integração.
Igualando as duas equações:
Vamos rearranjar:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fatorar ou usar a fórmula quadrática. Vamos usar a fatoração:
Então, as soluções são:
Isso significa que as duas curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos identificar qual das duas funções está acima da outra entre e . Isso é importante para determinar o raio externo e interno do nosso anel.
Vamos escolher um valor de dentro desse intervalo, por exemplo, :
Para :
Para :
Como , a reta está acima da curva nesse intervalo.

Passo 4

Vamos usar o método dos anéis para calcular o volume. Esse método envolve integrar a área de anéis infinitesimais (diferença entre dois círculos) ao longo do eixo de rotação.
A fórmula para o volume é:
Onde:
  • é a função que está mais acima (raio externo).
  • é a função que está mais abaixo (raio interno).
  • e são os limites de integração.

Passo 5

Vamos identificar e :
  • (raio externo)
  • (raio interno)
Os limites de integração são de até .
Então, a integral para o volume fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, vamos expandir as expressões:
Substituindo na integral:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Agora, a diferença:
Multiplicando por :
ú

Resposta

O volume do sólido obtido pela revolução das curvas é aproximadamente unidades cúbicas.

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Determine, descreva e represente geometricamente o domínio das funções abaixo: ;
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