Calcule o comprimento da curva .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva dada por no intervalo . Para isso, vamos usar o cálculo de comprimento de arco, que faz parte da matéria de Cálculo Diferencial. Vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco e calcular a derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de uma curva entre dois pontos e :
Então, precisamos encontrar a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função . Usamos a regra da cadeia:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos substituir na fórmula do comprimento de arco:
Sabemos que , então:

Passo 5

Vamos calcular a integral de :
Aplicando os limites de integração:

Passo 6

Agora, vamos avaliar nos limites:
Para :
Então:
Para :
Então:

Resposta

Subtraindo as duas avaliações:
Podemos simplificar:
Então, o comprimento da curva é .

Exercícios relacionados

Calcule:
Calcule:
Determine, descreva e represente geometricamente o domínio das funções abaixo: ;
Calcule: