Calcule: integral csc ^6(2 t) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de csc^6(2t) em relação a t. Esse problema faz parte do estudo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas técnicas de integração de potências de funções trigonométricas e, possivelmente, substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que csc(x) é o mesmo que 1/sin(x). Então, csc^6(2t) = 1sin^6(2t). Integrar potências de funções trigonométricas pode ser complicado, mas uma boa estratégia é reduzir a potência para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos usar a identidade trigonométrica que relaciona csc^2(x) com cot(x):
csc^2(x) = 1 + cot^2(x)
Isso nos ajuda a expressar csc^6(2t) em termos de cot(2t).

Passo 4

Escrevendo csc^6(2t) como (csc^2(2t))^3 e aplicando a identidade:
csc^6(2t) = (1 + cot^2(2t))^3
Mas isso ainda é complicado. Uma abordagem melhor é separar a potência:
csc^6(2t) = csc^4(2t) cdot csc^2(2t)
Agora, vamos reescrever csc^4(2t) como csc^2(2t) cdot csc^2(2t) e usar a identidade novamente.

Passo 5

Vamos usar a substituição para simplificar a integral. Seja u = cot(2t), então a derivada de u em relação a t é:
dudt = -2 csc^2(2t)
Isso significa que:
csc^2(2t) dt = -12 du

Passo 6

Substituindo na integral original:
integral csc^6(2t) dt = integral csc^4(2t) cdot csc^2(2t) dt = integral csc^4(2t) cdot (-12) du = -12 integral csc^4(2t) du
Mas ainda precisamos expressar csc^4(2t) em termos de u.

Passo 7

Usando novamente a identidade csc^2(2t) = 1 + cot^2(2t):
csc^4(2t) = (csc^2(2t))^2 = (1 + cot^2(2t))^2 = 1 + 2cot^2(2t) + cot^4(2t)
Substituindo u = cot(2t):
csc^4(2t) = 1 + 2u^2 + u^4

Passo 8

Agora, a integral fica:
-12 integral (1 + 2u^2 + u^4) du = -12 ( integral 1 , du + 2 integral u^2 , du + integral u^4 , du )
Vamos integrar termo a termo.

Passo 9

Calculando as integrais:
integral 1 , du = u integral u^2 , du = u^33 integral u^4 , du = u^55
Substituindo de volta:
-12 ( u + 2 cdot u^33 + u^55 ) + C

Passo 10

Simplificando:
-12 u - 13 u^3 - 110 u^5 + C
Lembrando que u = cot(2t), então:
-12 cot(2t) - 13 cot^3(2t) - 110 cot^5(2t) + C

Resposta

A integral de csc^6(2t) , dt é:
-12 cot(2t) - 13 cot^3(2t) - 110 cot^5(2t) + C

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