Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de
em relação a
. Esse problema faz parte do estudo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas técnicas de integração de potências de funções trigonométricas e, possivelmente, substituição trigonométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que
é o mesmo que
. Então,
. Integrar potências de funções trigonométricas pode ser complicado, mas uma boa estratégia é reduzir a potência para facilitar a integração.
Passo 3
Vamos usar a identidade trigonométrica que relaciona
com
:
Isso nos ajuda a expressar
em termos de
.
Passo 4
Escrevendo
como
e aplicando a identidade:
Mas isso ainda é complicado. Uma abordagem melhor é separar a potência:
Agora, vamos reescrever
como
e usar a identidade novamente.
Passo 5
Vamos usar a substituição para simplificar a integral. Seja
, então a derivada de
em relação a
é:
Isso significa que:
Passo 6
Substituindo na integral original:
Mas ainda precisamos expressar
em termos de
.
Passo 7
Usando novamente a identidade
:
Substituindo
:
Passo 8
Agora, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo.
Passo 9
Calculando as integrais:
Substituindo de volta:
Passo 10
Simplificando:
Lembrando que
, então:
Resposta
A integral de
é:
Exercícios relacionados
Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
[Dica no final]
Calcule:
Calcule:
Calcule o comprimento da curva
.