Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de em relação a . Esse problema faz parte do estudo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas técnicas de integração de potências de funções trigonométricas e, possivelmente, substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que é o mesmo que . Então, . Integrar potências de funções trigonométricas pode ser complicado, mas uma boa estratégia é reduzir a potência para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos usar a identidade trigonométrica que relaciona com :
Isso nos ajuda a expressar em termos de .

Passo 4

Escrevendo como e aplicando a identidade:
Mas isso ainda é complicado. Uma abordagem melhor é separar a potência:
Agora, vamos reescrever como e usar a identidade novamente.

Passo 5

Vamos usar a substituição para simplificar a integral. Seja , então a derivada de em relação a é:
Isso significa que:

Passo 6

Substituindo na integral original:
Mas ainda precisamos expressar em termos de .

Passo 7

Usando novamente a identidade :
Substituindo :

Passo 8

Agora, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo.

Passo 9

Calculando as integrais:
Substituindo de volta:

Passo 10

Simplificando:
Lembrando que , então:

Resposta

A integral de é:

Exercícios relacionados

Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
[Dica no final]
Calcule:
Calcule:
Calcule o comprimento da curva .