Determine, descreva e represente geometricamente o domínio das funções abaixo:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar, descrever e representar geometricamente o domínio da função
. Aqui, estamos trabalhando com funções de duas variáveis e vamos precisar entender domínios de funções e as restrições matemáticas que surgem quando temos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o domínio de uma função é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. No caso dessa função, temos um logaritmo natural, e sabemos que o logaritmo só está definido para números positivos. Então, precisamos garantir que o que está dentro do logaritmo seja maior que zero.
Passo 3
Vamos olhar para o argumento do logaritmo:
. Para que
esteja definido, temos que:
Passo 4
Resolvendo essa desigualdade para
:
Então, a restrição que temos é que
deve ser menor que
.
Passo 5
Além disso, não há outras restrições na função, já que
pode ser qualquer número real, desde que
. Portanto, o domínio da função é o conjunto de todos os pares
que satisfazem essa condição.
Passo 6
Para representar geometricamente esse domínio, vamos pensar na equação
. Essa é a equação de uma parábola que abre para a direita no plano
. O domínio da nossa função inclui todos os pontos que estão à esquerda dessa parábola, ou seja, todos os pontos onde
é menor que
.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
tais que
. Geometricamente, isso corresponde a todos os pontos no plano
que estão à esquerda da parábola definida por
.
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Calcule o comprimento da curva
.
Calcule:
Calcule:
Determine, descreva e represente geometricamente o domínio das funções abaixo:
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