Calcule: integral sen^4 x cos 2 x d x

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a integral de . Isso está ligado a cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar sin^4 x = (sin^2 x)^2 = (1 - cos 2x2)^2 = 1 - 2cos 2x + cos^2 2x4 . Sabemos que . Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, substituímos integral sin^4 x cos 2x , dx = integral (1 - 2cos 2x + cos^2 2x4) cos 2x , dx na integral original:
= 14 integral (1 - 2cos 2x + cos^2 2x) cos 2x , dx
Vamos simplificar isso:

Passo 4

Distribuímos = 14 integral (cos 2x - 2cos^2 2x + cos^3 2x) , dx dentro dos parênteses:

Passo 5

Agora, lidamos com cada termo separadamente:
  1. integral cos^2 2x , dx = integral 1 + cos 4x2 , dx = x2 + sin 4x8
  2. integral cos^3 2x , dx = integral cos^2 2x cdot cos 2x , dx = integral (1 - sin^2 2x) cos 2x , dx : usamos a identidade = integral cos 2x , dx - integral sin^2 2x cos 2x , dx = sin 2x2 - sin^3 2x6 :
  1. : usamos a substituição , então :

Passo 6

Agora, juntamos tudo de volta na integral original:
14 ( sin 2x2 - 2(x2 + sin 4x8) + (sin 2x2 - sin^3 2x6) ) + C
Simplificando:
= 14 ( sin 2x2 - x - sin 4x4 + sin 2x2 - sin^3 2x6 ) + C
= 14 ( sin 2x - x - sin 4x4 - sin^3 2x6 ) + C

Resposta

A integral é igual a:
14 sin 2x - x4 - sin 4x16 - sin^3 2x24 + C

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