Calcule o comprimento da curva
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular o comprimento da curva definida pela função
no intervalo de
de
até
. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva.
Passo 2
Para encontrar o comprimento de uma curva
entre
e
, usamos a fórmula:
Aqui,
é a derivada da função
em relação a
.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada de
em relação a
. Dada a função:
Podemos reescrever como:
Agora, aplicando a regra da cadeia para derivar:
Passo 4
Vamos substituir
na fórmula do comprimento da curva:
Simplificando o termo dentro da raiz:
Então:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
A integral
é uma forma padrão que resulta no arco seno:
Onde
é a constante de integração. Como estamos calculando um comprimento, não precisamos da constante.
Passo 7
Vamos agora calcular a integral definida:
Sabemos que:
Resposta
Portanto, o comprimento da curva é:
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, desenhe o conjunto
dado e calcule sua área:
é a região delimitada pelos gráficos de
e
.
Nos itens abaixo, desenhe o conjunto
dado e calcule sua área:
é a região delimitada pelos gráficos de
e
.
Calcule: o volume do cone reto de revolução de raio
e altura
.
Calcule