Calcule o comprimento da curva .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular o comprimento da curva definida pela função no intervalo de de até . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva.

Passo 2

Para encontrar o comprimento de uma curva entre e , usamos a fórmula:
Aqui, é a derivada da função em relação a .

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de em relação a . Dada a função:
Podemos reescrever como:
Agora, aplicando a regra da cadeia para derivar:

Passo 4

Vamos substituir na fórmula do comprimento da curva:
Simplificando o termo dentro da raiz:
Então:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:

Passo 6

A integral é uma forma padrão que resulta no arco seno:
Onde é a constante de integração. Como estamos calculando um comprimento, não precisamos da constante.

Passo 7

Vamos agora calcular a integral definida:
Sabemos que:

Resposta

Portanto, o comprimento da curva é:

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