Nos itens abaixo, desenhe o conjunto dado e calcule sua área: é a região delimitada pelos gráficos de e .

Passo 1

Beleza, galera! O exercício pede pra gente desenhar a região que é delimitada pelos gráficos das equações , e , e depois calcular a área dessa região. Pra resolver isso, vamos precisar entender onde essas curvas se encontram, achar os pontos de interseção e, por fim, usar cálculo (integração) pra encontrar a área.

Passo 2

Vamos começar encontrando os pontos onde essas curvas se cortam. Isso significa resolver os sistemas de equações formados por cada par de curvas.
Primeiro, vamos achar onde e se intersectam.
Da equação , temos . Substituindo isso na outra equação:
Vamos tentar encontrar um valor de que satisfaça essa equação. Testando :
Então, é uma raiz. Fazendo a divisão do polinômio:
As outras raízes são complexas, então o único ponto real de interseção é . Calculando :
Então, temos o ponto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a interseção entre e .
Da equação , temos . Substituindo na outra equação:
Calculando :
Então, o ponto de interseção é .

Passo 4

Por último, vamos achar a interseção entre e .
Da equação , substituímos na outra:
Então, ou . A segunda equação não tem solução real, então o único ponto de interseção real é . Calculando :
Portanto, o ponto é .

Passo 5

Agora que temos os três pontos de interseção:
Vamos desenhar esses pontos e esboçar as curvas para visualizar a região .

Passo 6

Para calcular a área da região , vamos dividir a integração em partes onde as funções se cruzam.
Observando os pontos, vemos que a curva vai de a , a reta vai de a , e a reta vai de a .

Passo 7

Vamos calcular a área em duas partes:
  1. Entre e , delimitada pelas retas e .
  2. Entre e , delimitada pelas curvas e .

Passo 8

Primeira parte da área:
Integrando:

Passo 9

Segunda parte da área:
Integrando:

Passo 10

Agora, somamos as duas áreas para obter a área total da região :

Resposta

A área da região é 22 unidades de área.

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, desenhe o conjunto dado e calcule sua área: é a região delimitada pelos gráficos de e .
Seja uma função ímpar e contínua em . Mostre que
Calcule o comprimento da curva .
Calcule: o volume do cone reto de revolução de raio e altura .