Nos itens abaixo, desenhe o conjunto
dado e calcule sua área:
é a região delimitada pelos gráficos de
e
.
Passo 1
Beleza, galera! O exercício pede pra gente desenhar a região
que é delimitada pelos gráficos das equações
,
e
, e depois calcular a área dessa região. Pra resolver isso, vamos precisar entender onde essas curvas se encontram, achar os pontos de interseção e, por fim, usar cálculo (integração) pra encontrar a área.
Passo 2
Vamos começar encontrando os pontos onde essas curvas se cortam. Isso significa resolver os sistemas de equações formados por cada par de curvas.
Primeiro, vamos achar onde
e
se intersectam.
Da equação
, temos
. Substituindo isso na outra equação:
Vamos tentar encontrar um valor de
que satisfaça essa equação. Testando
:
Então,
é uma raiz. Fazendo a divisão do polinômio:
As outras raízes são complexas, então o único ponto real de interseção é
. Calculando
:
Então, temos o ponto
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a interseção entre
e
.
Da equação
, temos
. Substituindo na outra equação:
Calculando
:
Então, o ponto de interseção é
.
Passo 4
Por último, vamos achar a interseção entre
e
.
Da equação
, substituímos na outra:
Então,
ou
. A segunda equação não tem solução real, então o único ponto de interseção real é
. Calculando
:
Portanto, o ponto é
.
Passo 5
Agora que temos os três pontos de interseção:
Vamos desenhar esses pontos e esboçar as curvas para visualizar a região
.
Passo 6
Para calcular a área da região
, vamos dividir a integração em partes onde as funções se cruzam.
Observando os pontos, vemos que a curva
vai de
a
, a reta
vai de
a
, e a reta
vai de
a
.
Passo 7
Vamos calcular a área em duas partes:
- Entre
e , delimitada pelas retas e . - Entre
e , delimitada pelas curvas e .
Passo 8
Primeira parte da área:
Integrando:
Passo 9
Segunda parte da área:
Integrando:
Passo 10
Agora, somamos as duas áreas para obter a área total da região
:
Resposta
A área da região
é 22 unidades de área.
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, desenhe o conjunto
dado e calcule sua área:
é a região delimitada pelos gráficos de
e
.
Seja
uma função ímpar e contínua em
. Mostre que
Calcule o comprimento da curva
.
Calcule: o volume do cone reto de revolução de raio
e altura
.