Nos itens abaixo, desenhe o conjunto
dado e calcule sua área:
é a região delimitada pelos gráficos de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenharmos o conjunto
delimitado pelas curvas
e
, e depois calcularmos a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de funções quadráticas e lineares, além de calcular integrais para achar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações dadas. A primeira é
, que podemos reescrever como
. Essa é uma parábola que abre para baixo, com vértice no ponto
.
A segunda equação é
, que rearranjando fica
. Essa é uma reta com coeficiente angular
e intercepto em
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas. Isso acontece quando
. Vamos resolver essa equação para achar os valores de
:
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as soluções são
e
.
Passo 4
Com os valores de
em mãos, vamos encontrar os correspondentes valores de
usando a equação da reta
:
Para
:
Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 5
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, podemos visualizar a região
. A parábola
está acima da reta
entre
e
.
Para calcular a área dessa região, vamos integrar a diferença entre as funções de cima e de baixo nesse intervalo.
Passo 6
A área
é dada por:
Simplificando a expressão dentro do integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar a função
de
a
:
Calculando a integral:
Passo 8
Agora, substituímos os limites de integração:
Para
:
Para
:
A diferença entre os valores nos limites é:
Resposta
A área da região
delimitada pelas curvas
e
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Seja
uma função ímpar e contínua em
. Mostre que
Calcule
Nos itens abaixo, desenhe o conjunto
dado e calcule sua área:
é a região delimitada pelos gráficos de
e
.
Calcule o comprimento da curva
.