Nos itens abaixo, desenhe o conjunto dado e calcule sua área: é a região delimitada pelos gráficos de e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenharmos o conjunto delimitado pelas curvas e , e depois calcularmos a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de funções quadráticas e lineares, além de calcular integrais para achar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações dadas. A primeira é , que podemos reescrever como . Essa é uma parábola que abre para baixo, com vértice no ponto .
A segunda equação é , que rearranjando fica . Essa é uma reta com coeficiente angular e intercepto em .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas. Isso acontece quando . Vamos resolver essa equação para achar os valores de :
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as soluções são e .

Passo 4

Com os valores de em mãos, vamos encontrar os correspondentes valores de usando a equação da reta :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, podemos visualizar a região . A parábola está acima da reta entre e .
Para calcular a área dessa região, vamos integrar a diferença entre as funções de cima e de baixo nesse intervalo.

Passo 6

A área é dada por:
Simplificando a expressão dentro do integral:

Passo 7

Agora, vamos integrar a função de a :
Calculando a integral:

Passo 8

Agora, substituímos os limites de integração:
Para :
Para :
A diferença entre os valores nos limites é:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é unidades quadradas.

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