Considere a seguinte equação diferencial:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral dessa equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Isso é feito substituindo
na equação diferencial, o que nos leva à seguinte equação algébrica:
Essa é a nossa equação característica.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
para encontrar os valores de
. Usando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
e
. Substituindo:
Portanto, os valores de
s��o complexos:
e
.
Passo 4
Como temos raízes complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é dada por:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeiro, aplicamos
:
Então,
.
Passo 6
Em seguida, calculamos a derivada de
:
Então, aplicamos
:
Portanto,
.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Calcule o comprimento da curva: