Considere a seguinte equação diferencial:

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral dessa equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Isso é feito substituindo na equação diferencial, o que nos leva à seguinte equação algébrica:
Essa é a nossa equação característica.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de . Usando a fórmula de Bhaskara:
onde , e . Substituindo:
Portanto, os valores de s��o complexos: e .

Passo 4

Como temos raízes complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é dada por:
No nosso caso, e , então:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeiro, aplicamos :
Então, .

Passo 6

Em seguida, calculamos a derivada de :
Então, aplicamos :
Portanto, .

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Calcule o comprimento da curva: