Calcule o comprimento da curva
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o comprimento da curva
no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a encontrar o comprimento de uma curva entre dois pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para o comprimento de uma curva
entre
e
:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada de
:
Então,
.
Passo 4
Substituindo
na fórmula do comprimento:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então,
Passo 5
Para resolver a integral
, vamos usar uma substituição. Seja:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar
:
Portanto,
Voltando para a variável original
:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de
até
:
Passo 8
Simplificando as potências:
Então,
Resposta
O comprimento da curva
no intervalo de
a
é:
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, dos seguintes conjuntos:
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, da região compreendida entre o eixo
e a curva
.