Calcule o comprimento da curva .

Passo 1

Beleza, vamos calcular o comprimento da curva no intervalo de até . Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a encontrar o comprimento de uma curva entre dois pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para o comprimento de uma curva entre e :
Aqui, é a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de :
Então, .

Passo 4

Substituindo na fórmula do comprimento:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então,

Passo 5

Para resolver a integral , vamos usar uma substituição. Seja:
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, vamos integrar :
Portanto,
Voltando para a variável original :

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de até :

Passo 8

Simplificando as potências:
Então,

Resposta

O comprimento da curva no intervalo de a é:

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