Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo
, dos seguintes conjuntos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido de revolução formado ao girar em torno do eixo
a região
, que é definida por:
Conteúdo da matéria: Esse problema envolve cálculo de volumes de sólidos de revolução, utilizando o método dos discos ou das cascas cilíndricas.
O que vamos precisar:
- Entender a região
no plano. - Aplicar o método adequado para calcular o volume.
- Resolver integrais envolvendo funções quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Ela é definida por:
Isso significa que
está entre dois círculos concêntricos com centro na origem:
- Círculo interno:
(raio 1) - Círculo externo:
(raio 2)
E apenas a parte superior desses círculos, já que
.
Passo 3
Vamos usar o método dos discos para calcular o volume. Esse método consiste em integrar a área de discos circulares ao longo do eixo de rotação.
A área de um disco em um ponto
é dada por:
Onde:
-
é o raio externo -
é o raio interno
No nosso caso:
-
vem do círculo externo: -
vem do círculo interno:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração. Observando as equações dos círculos:
- Para
entre e , ambos os círculos existem e varia de a . - Para
entre e , e entre e , o círculo interno não existe na parte superior ( ), então varia de 0 a .
Portanto, dividimos a integração em duas partes:
- De
a e de a :
- De
a :
Passo 5
Vamos calcular as integrais separadamente.
- Para
de a e de a :
Multiplicamos por 2 porque a função é simétrica em relação ao eixo
.
- Para
de a :
Passo 6
Calculando
:
Substituindo os limites:
Passo 7
Agora, somamos
e
para obter o volume total:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
.
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.
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Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, da região compreendida entre o eixo
e a curva
.
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