Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo , dos seguintes conjuntos:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido de revolução formado ao girar em torno do eixo a região , que é definida por:
Conteúdo da matéria: Esse problema envolve cálculo de volumes de sólidos de revolução, utilizando o método dos discos ou das cascas cilíndricas.
O que vamos precisar:
  • Entender a região no plano.
  • Aplicar o método adequado para calcular o volume.
  • Resolver integrais envolvendo funções quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela é definida por:
Isso significa que está entre dois círculos concêntricos com centro na origem:
  • Círculo interno: (raio 1)
  • Círculo externo: (raio 2)
E apenas a parte superior desses círculos, já que .

Passo 3

Vamos usar o método dos discos para calcular o volume. Esse método consiste em integrar a área de discos circulares ao longo do eixo de rotação.
A área de um disco em um ponto é dada por:
Onde:
  • é o raio externo
  • é o raio interno
No nosso caso:
  • vem do círculo externo:
  • vem do círculo interno:

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração. Observando as equações dos círculos:
  • Para entre e , ambos os círculos existem e varia de a .
  • Para entre e , e entre e , o círculo interno não existe na parte superior ( ), então varia de 0 a .
Portanto, dividimos a integração em duas partes:
  1. De a e de a :
  1. De a :

Passo 5

Vamos calcular as integrais separadamente.
  1. Para de a e de a :
Multiplicamos por 2 porque a função é simétrica em relação ao eixo .
  1. Para de a :

Passo 6

Calculando :
Substituindo os limites:

Passo 7

Agora, somamos e para obter o volume total:

Resposta

O volume do sólido de revolução é .

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