Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo , da região compreendida entre o eixo e a curva .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que é formado ao girar, em torno do eixo , a região limitada pelo eixo e pela curva , onde varia de 1 até 4. Para isso, vamos utilizar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo de volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual é a fórmula que vamos usar. Quando giramos uma curva em torno do eixo , o volume pode ser calculado pela integral:
Aqui, representa a função que descreve a curva em termos de , e e são os limites de integração, que no nosso caso são 1 e 4.

Passo 3

No nosso exercício, a curva é . Então, essa é a função que vamos usar na fórmula:
O intervalo de é de 1 a 4, então e .

Passo 4

Agora, vamos substituir na fórmula do volume:
Simplificando, temos:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 4:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo , dos seguintes conjuntos:
Calcule o comprimento da curva .
Calcule
Calcule a área da elipse descrita por .