Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, da região compreendida entre o eixo
e a curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que é formado ao girar, em torno do eixo
, a região limitada pelo eixo
e pela curva
, onde
varia de 1 até 4. Para isso, vamos utilizar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo de volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual é a fórmula que vamos usar. Quando giramos uma curva em torno do eixo
, o volume
pode ser calculado pela integral:
Aqui,
representa a função que descreve a curva em termos de
, e
e
são os limites de integração, que no nosso caso são 1 e 4.
Passo 3
No nosso exercício, a curva é
. Então, essa é a função
que vamos usar na fórmula:
O intervalo de
é de 1 a 4, então
e
.
Passo 4
Agora, vamos substituir
na fórmula do volume:
Simplificando, temos:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 4:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo
, dos seguintes conjuntos:
Calcule o comprimento da curva
.
Calcule
Calcule a área da elipse descrita por
.