Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, da região compreendida entre o eixo y e a curva x = 2/y, 1 <= y <= 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que é formado ao girar, em torno do eixo y, a região limitada pelo eixo y e pela curva , onde y varia de 1 até 4. Para isso, vamos utilizar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo de volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual é a fórmula que vamos usar. Quando giramos uma curva em torno do eixo y, o volume V pode ser calculado pela integral:
Aqui, f(y) representa a função que descreve a curva em termos de y, e a e b são os limites de integração, que no nosso caso são 1 e 4.

Passo 3

No nosso exercício, a curva é . Então, essa é a função f(y) que vamos usar na fórmula:
O intervalo de y é de 1 a 4, então e .

Passo 4

Agora, vamos substituir f(y) na fórmula do volume:
Simplificando, temos:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 4:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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