Calcule integral0^1 x(x^2+1)^5 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função que está no denominador: . Note que a derivada de é , que está relacionada ao numerador . Isso nos sugere usar uma substituição.

Passo 3

Vamos fazer a seguinte substituição:
u = x^2 + 1
Agora, derivando ambos os lados em relação a du = 2x , dx :
x , dx = du2
Isso significa que:

Passo 4

Agora, substituímos na integral original usando integral x(x^2+1)^5 , dx = integral 1u^5 cdot du2 = 12 integral u^-5 , du e :

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^-5 , du = u^-4-4 + C = -14 u^-4 + C :
12 cdot (-14 u^-4) = -18 u^-4 + C
Multiplicando pela constante :

Passo 6

Voltando à variável original -18 (x^2 + 1)^-4 + C , lembrando que [ -18 (x^2 + 1)^-4 ]0^1 :
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:

Passo 7

Calculando nos limites:
Para -18 (1^2 + 1)^-4 = -18 (2)^-4 = -18 cdot 116 = -1128 :
-18 (0^2 + 1)^-4 = -18 (1)^-4 = -18
Para :

Passo 8

Subtraindo os valores:
-1128 - (-18) = -1128 + 18
Convertendo 18 = 16128 para 128 denominadores:
-1128 + 16128 = 15128
Então:

Resposta

A integral vale .

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