Suponha que existem funções injetivas f : N -> X e g: X -> N. Mostre que X é enumerável.

Passo 1

Então, a gente tem duas funções injetivas: uma função que vai dos números naturais para um conjunto , e outra função que vai de de volta para . Nosso objetivo aqui é mostrar que o conjunto é enumerável, ou seja, que ele tem a mesma “tamanho” que os números naturais. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetiva e como isso nos ajuda a contar os elementos de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função injetiva. Uma função é injetiva se cada elemento do domínio é mapeado para um elemento único no contradomínio. Isso significa que não há dois diferentes números naturais que apontam para o mesmo elemento em pela função , e também não há dois diferentes elementos em que apontam para o mesmo número natural pela função .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Como é injetiva, isso quer dizer que cada número natural está mapeado para um elemento distinto em . Ou seja, tem pelo menos tantos elementos quantos os números naturais, o que nos dá uma ideia de que não é “menor” que .

Passo 4

Por outro lado, temos a função . Como também é injetiva, isso significa que cada elemento de está mapeado para um número natural único. Portanto, não pode ter mais elementos do que os números naturais, indicando que não é “maior” que .

Passo 5

Juntando essas duas observações, percebemos que tem pelo menos a quantidade de elementos dos números naturais e, ao mesmo tempo, não tem mais elementos do que eles. Isso significa que tem exatamente a mesma quantidade de elementos que , ou seja, é enumerável.

Resposta

Portanto, conclui-se que o conjunto é enumerável.

Exercícios relacionados