Suponha que existem funções injetivas
e
. Mostre que
é enumerável.
Passo 1
Então, a gente tem duas funções injetivas: uma função
que vai dos números naturais
para um conjunto
, e outra função
que vai de
de volta para
. Nosso objetivo aqui é mostrar que o conjunto
é enumerável, ou seja, que ele tem a mesma “tamanho” que os números naturais. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetiva e como isso nos ajuda a contar os elementos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função injetiva. Uma função é injetiva se cada elemento do domínio é mapeado para um elemento único no contradomínio. Isso significa que não há dois diferentes números naturais que apontam para o mesmo elemento em
pela função
, e também não há dois diferentes elementos em
que apontam para o mesmo número natural pela função
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Como
é injetiva, isso quer dizer que cada número natural está mapeado para um elemento distinto em
. Ou seja,
tem pelo menos tantos elementos quantos os números naturais, o que nos dá uma ideia de que
não é “menor” que
.
Passo 4
Por outro lado, temos a função
. Como
também é injetiva, isso significa que cada elemento de
está mapeado para um número natural único. Portanto,
não pode ter mais elementos do que os números naturais, indicando que
não é “maior” que
.
Passo 5
Juntando essas duas observações, percebemos que
tem pelo menos a quantidade de elementos dos números naturais e, ao mesmo tempo, não tem mais elementos do que eles. Isso significa que
tem exatamente a mesma quantidade de elementos que
, ou seja,
é enumerável.
Resposta
Portanto, conclui-se que o conjunto
é enumerável.