Calcule o comprimento das curvas abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o comprimento da curva definida por no intervalo de
de 0 a 2. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva paramétrica.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar as funções que definem a curva. Aqui, temos:
Vamos precisar derivar essas funções em relação a
para usar na fórmula do comprimento.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas de
e
. Usamos a regra do produto para derivar:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula do comprimento da curva paramétrica:
Aqui,
e
. Vamos calcular
:
Sabemos que , então:
Passo 5
Substituindo de volta na fórmula do comprimento:
A integral de
em relação a
é simplesmente
, então:
Passo 6
Podemos deixar a resposta dessa forma ou calcular um valor numérico aproximado. Sabendo que
e
:
Resposta
O comprimento da curva é
ou aproximadamente
.
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(a) Mostre que eles nunca se chocarão.
Determine o vetor posição
de uma partícula, se:
e
A Transformada de Laplace é definida por:
Calcule as transformadas de Laplace abaixo:
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