Calcule o comprimento das curvas abaixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o comprimento da curva definida por no intervalo de de 0 a 2. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva paramétrica.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar as funções que definem a curva. Aqui, temos:
Vamos precisar derivar essas funções em relação a para usar na fórmula do comprimento.

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas de e . Usamos a regra do produto para derivar:

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do comprimento da curva paramétrica:
Aqui, e . Vamos calcular :
Sabemos que , então:

Passo 5

Substituindo de volta na fórmula do comprimento:
A integral de em relação a é simplesmente , então:

Passo 6

Podemos deixar a resposta dessa forma ou calcular um valor numérico aproximado. Sabendo que e :

Resposta

O comprimento da curva é ou aproximadamente .

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