Determine o vetor posição gamma(t) de uma partícula, se: A(t) = (2 cos(2 t), 2 sen(2 t)), V(0) = (1, 1) e γ(0) = (1/2, -1/2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer descobrir o vetor posição de uma partícula. Pra isso, a gente tem algumas informações: a aceleração , a velocidade inicial e a posição inicial . Vamos usar cálculo, especificamente a integração, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade . Sabemos que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Então, vamos integrar cada componente de :

Passo 3

Vamos resolver essas integrais:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Então, a velocidade fica:

Passo 4

Agora, vamos usar a condição inicial da velocidade pra encontrar as constantes e .
Substituindo na expressão de :
Então, temos:

Passo 5

Agora que temos as constantes, podemos escrever a expressão completa da velocidade:
Próximo passo é encontrar a posição integrando a velocidade.

Passo 6

Vamos integrar para encontrar :
Resolvendo as integrais:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Então, a posição fica:

Passo 7

Usamos a condição inicial para encontrar e .
Substituindo :
Então:

Resposta

Assim, a expressão do vetor posição é:

Exercícios relacionados