Determine o vetor posição
de uma partícula, se:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer descobrir o vetor posição
de uma partícula. Pra isso, a gente tem algumas informações: a aceleração , a velocidade inicial
e a posição inicial
. Vamos usar cálculo, especificamente a integração, pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade
. Sabemos que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Então, vamos integrar cada componente de
:
Passo 3
Vamos resolver essas integrais:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Então, a velocidade fica:
Passo 4
Agora, vamos usar a condição inicial da velocidade
pra encontrar as constantes
e
.
Substituindo
na expressão de
:
Então, temos:
Passo 5
Agora que temos as constantes, podemos escrever a expressão completa da velocidade:
Próximo passo é encontrar a posição
integrando a velocidade.
Passo 6
Vamos integrar
para encontrar
:
Resolvendo as integrais:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Então, a posição fica:
Passo 7
Usamos a condição inicial
para encontrar
e
.
Substituindo
:
Então:
Resposta
Assim, a expressão do vetor posição é:
Exercícios relacionados
Considere as seguintes curvas regulares:
,
Reparametrize essas curvas por comprimento de arco.
Reparametrize essas curvas por comprimento de arco.
Dois carros se movem segundo os seguintes vetores posição:
© Em que pontos elas se cruzam?
Dois carros se movem segundo os seguintes vetores posição:
(a) Mostre que eles nunca se chocarão.
Calcule o comprimento das curvas abaixo