A Transformada de Laplace é definida por: Lf(t)=F(s)=integral0^infty e^-s t f(t) d t Calcule as transformadas de Laplace abaixo: Lcos (a t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a Transformada de Laplace da função . A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, que é uma técnica usada pra resolver equações diferenciais e outras aplicações em engenharia e física. Pra resolver isso, vamos usar a definição da Transformada de Laplace e algumas propriedades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da Transformada de Laplace:
Lf(t) = F(s) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt
Aqui, é a função que vamos transformar, que nesse caso é .

Passo 3

Agora, substituímos Lcos(a t) = integral0^infty e^-s t cos(a t) , dt por na integral:
Essa integral pode parecer complicada, mas existe uma fórmula padrão para integrar produtos de exponenciais e funções trigonométricas.

Passo 4

Sabemos que:
integral0^infty e^-s t cos(a t) , dt = ss^2 + a^2
Essa fórmula é derivada usando integração por partes ou métodos de integrais complexas, mas vamos usá-la diretamente para simplificar nosso cálculo.

Passo 5

Então, aplicando essa fórmula na nossa Transformada de Laplace:
Lcos(a t) = ss^2 + a^2
Isso significa que a Transformada de Laplace de é .

Resposta

A Transformada de Laplace de Lcos(a t) = ss^2 + a^2 é:

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