Calcule o comprimento das curvas abaixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva definida por para . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente o cálculo de comprimento de curvas parametrizadas. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Se tivermos uma curva no intervalo , o comprimento da curva é dado por:
Essa fórmula basicamente calcula a soma dos pequenos pedaços de linha da curva, somando tudo isso para obter o comprimento total.

Passo 3

Agora, vamos identificar as funções componentes da nossa curva :
Precisamos calcular as derivadas de cada uma dessas funções em relação a .

Passo 4

Calculando as derivadas:
Essas derivadas representam as taxas de variação de cada componente da curva em relação a .

Passo 5

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada.

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a expressão fica:
Portanto, a integral se torna:

Passo 7

Como é uma constante, podemos tirar da integral:

Resposta

O comprimento da curva é .

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