Calcule o comprimento das curvas abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva definida por para
. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente o cálculo de comprimento de curvas parametrizadas. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Se tivermos uma curva
no intervalo
, o comprimento
da curva é dado por:
Essa fórmula basicamente calcula a soma dos pequenos pedaços de linha da curva, somando tudo isso para obter o comprimento total.
Passo 3
Agora, vamos identificar as funções componentes da nossa curva
:
Precisamos calcular as derivadas de cada uma dessas funções em relação a
.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Essas derivadas representam as taxas de variação de cada componente da curva em relação a
.
Passo 5
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada.
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a expressão fica:
Portanto, a integral se torna:
Passo 7
Como
é uma constante, podemos tirar da integral:
Resposta
O comprimento da curva é
.
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