Determine o vetor posição gamma(t) de uma partícula, se: V(t) = (1/(t-1)^2, -t-1) e γ(0) = (3, 2)

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo e quais conceitos vamos usar. Queremos encontrar o vetor posição gamma(t) de uma partícula, dado o vetor velocidade e a posição inicial . Para resolver isso, vamos integrar o vetor velocidade para obter o vetor posição, usando o conceito de integração de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor posição gamma(t) é a integral do vetor velocidade V(t) em relação ao tempo t, mais a posição inicial. Ou seja:
Vamos integrar cada componente do vetor velocidade separadamente.

Passo 3

Vamos integrar a primeira componente do vetor velocidade: em relação a t.
A integral de é igual a , onde C é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos integrar a segunda componente do vetor velocidade: em relação a t.
A integral de é e a integral de é . Portanto, a integral completa é .

Passo 5

Agora, juntamos as integrais das duas componentes e adicionamos a posição inicial :

Passo 6

Para determinar as constantes de integração e , usamos a condição inicial .
Substituindo t = 0 na expressão de gamma(t):
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:

Resposta

Portanto, o vetor posição é:

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