Determine o vetor posição
de uma partícula, se:
e
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está pedindo e quais conceitos vamos usar. Queremos encontrar o vetor posição
de uma partícula, dado o vetor velocidade
e a posição inicial
. Para resolver isso, vamos integrar o vetor velocidade para obter o vetor posição, usando o conceito de integração de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o vetor posição
é a integral do vetor velocidade
em relação ao tempo
, mais a posição inicial. Ou seja:
Vamos integrar cada componente do vetor velocidade separadamente.
Passo 3
Vamos integrar a primeira componente do vetor velocidade:
em relação a
.
A integral de
é igual a
, onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos integrar a segunda componente do vetor velocidade:
em relação a
.
A integral de
é
e a integral de
é
. Portanto, a integral completa é
.
Passo 5
Agora, juntamos as integrais das duas componentes e adicionamos a posição inicial
:
Passo 6
Para determinar as constantes de integração
e
, usamos a condição inicial
.
Substituindo
na expressão de
:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Resposta
Portanto, o vetor posição é: