Determine o vetor posição de uma partícula, se: e

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo e quais conceitos vamos usar. Queremos encontrar o vetor posição de uma partícula, dado o vetor velocidade e a posição inicial . Para resolver isso, vamos integrar o vetor velocidade para obter o vetor posição, usando o conceito de integração de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor posição é a integral do vetor velocidade em relação ao tempo , mais a posição inicial. Ou seja:
Vamos integrar cada componente do vetor velocidade separadamente.

Passo 3

Vamos integrar a primeira componente do vetor velocidade: em relação a .
A integral de é igual a , onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos integrar a segunda componente do vetor velocidade: em relação a .
A integral de é e a integral de é . Portanto, a integral completa é .

Passo 5

Agora, juntamos as integrais das duas componentes e adicionamos a posição inicial :

Passo 6

Para determinar as constantes de integração e , usamos a condição inicial .
Substituindo na expressão de :
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:

Resposta

Portanto, o vetor posição é:

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Calcule o comprimento das curvas abaixo
Dois carros se movem segundo os seguintes vetores posição:
(b) Esboce as estradas sobre as quais eles se movem.
Dois carros se movem segundo os seguintes vetores posição:
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Considere as seguintes curvas regulares: ,
Reparametrize essas curvas por comprimento de arco.