Dois carros se movem segundo os seguintes vetores posição:
(b) Esboce as estradas sobre as quais eles se movem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois carros que estão se movendo seguindo uns vetores posição dados. Nosso objetivo aqui é esboçar as estradas que eles estão percorrendo. Para isso, vamos precisar entender os vetores posição e como transformar essas informações paramétricas em equações das trajetórias no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o vetor posição do primeiro carro:
Aqui, o primeiro número dentro do par é a posição no eixo x e o segundo no eixo y, tudo isso em função do tempo t.
Passo 3
Para encontrar a equação da trajetória desse carro, precisamos eliminar o parâmetro t. Vamos chamar as coordenadas de (x, y). Então, temos:
Da primeira equação, podemos isolar t:
Passo 4
Agora, substituímos t na segunda equação:
Então, a equação da trajetória do primeiro carro é:
Passo 5
Vamos fazer o mesmo para o segundo carro:
Novamente, temos:
Passo 6
Isolando t da primeira equação:
Agora, substituímos t na segunda equação:
Expandindo o quadrado:
Então, a equação da trajetória do segundo carro é:
Resposta
As estradas que os dois carros seguem são dadas pelas seguintes equações:
- Primeiro carro:
(uma reta) - Segundo carro:
(uma parábola)
Exercícios relacionados
A posição de uma partícula no tempo
é dada por
. Quando a velocidade escalar é mínima?
Encontre a equação da reta tangente à curva dada no ponto dado:
.
Calcule o comprimento das curvas abaixo
Determine o vetor posição
de uma partícula, se:
e