Dois carros se movem segundo os seguintes vetores posição:
(b) Esboce as estradas sobre as quais eles se movem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois carros que estão se movendo seguindo uns vetores posição dados. Nosso objetivo aqui é esboçar as estradas que eles estão percorrendo. Para isso, vamos precisar entender os vetores posição e como transformar essas informações paramétricas em equações das trajetórias no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o vetor posição do primeiro carro:
Aqui, o primeiro número dentro do par é a posição no eixo x e o segundo no eixo y, tudo isso em função do tempo t.

Passo 3

Para encontrar a equação da trajetória desse carro, precisamos eliminar o parâmetro t. Vamos chamar as coordenadas de (x, y). Então, temos:
Da primeira equação, podemos isolar t:

Passo 4

Agora, substituímos t na segunda equação:
Então, a equação da trajetória do primeiro carro é:

Passo 5

Vamos fazer o mesmo para o segundo carro:
Novamente, temos:

Passo 6

Isolando t da primeira equação:
Agora, substituímos t na segunda equação:
Expandindo o quadrado:
Então, a equação da trajetória do segundo carro é:

Resposta

As estradas que os dois carros seguem são dadas pelas seguintes equações:
  • Primeiro carro: (uma reta)
  • Segundo carro: (uma parábola)

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