Dois carros se movem segundo os seguintes vetores posição:
© Em que pontos elas se cruzam?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão! A gente tem dois carros que se movem de acordo com os vetores posição dados por:
A pergunta é: Em que pontos eles se cruzam? Isso envolve entender um pouco de vetores posição e como igualar as coordenadas para encontrar o ponto de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que os carros se cruzam. Basicamente, queremos encontrar um tempo onde a posição do primeiro carro é igual à posição do segundo carro . Ou seja:

Passo 3

Vamos igualar as componentes dos vetores posição. Isso nos dá duas equações:
  1. Componente x:
  2. Componente y:

Passo 4

Vamos resolver a primeira equação para achar o valor de :
Então, encontramos que .

Passo 5

Agora, vamos verificar se esse valor de também satisfaz a segunda equação:
ãé
Como não bate, não é uma solução válida para as duas equações ao mesmo tempo.

Passo 6

Então, precisamos resolver a segunda equação independentemente para encontrar possíveis valores de :
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 7

Calculando os valores de :
Ambos os valores de são maiores ou iguais a 0, então são válidos.

Passo 8

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção substituindo esses valores de em qualquer uma das funções posição. Vamos usar :
  1. Para :
  2. Para :

Resposta

Os dois carros se cruzam nos seguintes pontos:

Exercícios relacionados

Determine o vetor posição de uma partícula, se: e
Calcule o comprimento das curvas abaixo
Considere as seguintes curvas regulares: ,
Reparametrize essas curvas por comprimento de arco.
Determine o vetor posição de uma partícula, se: e