Dois carros se movem segundo os seguintes vetores posição:
© Em que pontos elas se cruzam?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão! A gente tem dois carros que se movem de acordo com os vetores posição dados por:
A pergunta é: Em que pontos eles se cruzam? Isso envolve entender um pouco de vetores posição e como igualar as coordenadas para encontrar o ponto de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que os carros se cruzam. Basicamente, queremos encontrar um tempo
onde a posição do primeiro carro
é igual à posição do segundo carro
. Ou seja:
Passo 3
Vamos igualar as componentes dos vetores posição. Isso nos dá duas equações:
- Componente x:
- Componente y:
Passo 4
Vamos resolver a primeira equação para achar o valor de
:
Então, encontramos que
.
Passo 5
Agora, vamos verificar se esse valor de
também satisfaz a segunda equação:
Como não bate,
não é uma solução válida para as duas equações ao mesmo tempo.
Passo 6
Então, precisamos resolver a segunda equação independentemente para encontrar possíveis valores de
:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 7
Calculando os valores de
:
Ambos os valores de
são maiores ou iguais a 0, então são válidos.
Passo 8
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção substituindo esses valores de
em qualquer uma das funções posição. Vamos usar
:
- Para
: - Para
:
Resposta
Os dois carros se cruzam nos seguintes pontos:
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Determine o vetor posição
de uma partícula, se:
e
Calcule o comprimento das curvas abaixo
Considere as seguintes curvas regulares:
,
Reparametrize essas curvas por comprimento de arco.
Reparametrize essas curvas por comprimento de arco.
Determine o vetor posição
de uma partícula, se:
e