A posição de uma partícula no tempo é dada por . Quando a velocidade escalar é mínima?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a posição de uma partícula no tempo é dada por . Nosso objetivo aqui é descobrir quando a velocidade escalar (ou seja, a magnitude da velocidade) da partícula é mínima. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre vetores de posição, velocidade e como calcular a magnitude de um vetor.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de em relação a :

Passo 3

Agora que temos o vetor velocidade , precisamos encontrar a velocidade escalar, que é a magnitude desse vetor. A magnitude de um vetor é dada por:
Vamos calcular isso para :

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar o valor de que minimiza a velocidade escalar . Para isso, podemos minimizar a função dentro da raiz, já que a raiz quadrada é uma função crescente. Assim, vamos minimizar:

Passo 5

A função é uma parábola que abre para cima, pois o coeficiente de é positivo. O ponto mínimo dessa função ocorre no vértice da parábola. A coordenada do vértice de uma parábola é dada por:
No nosso caso, e (já que não há termo em ), então:

Passo 6

Portanto, o valor de que minimiza e, consequentemente, a velocidade escalar é . Vamos verificar a velocidade nesse ponto:

Resposta

A velocidade escalar da partícula é mínima quando .

Exercícios relacionados

Encontre a equação da reta tangente à curva dada no ponto dado: .
Dê uma parametrização para as seguintes curvas: a reta .
Dois carros se movem segundo os seguintes vetores posição:
(b) Esboce as estradas sobre as quais eles se movem.
Calcule o comprimento das curvas abaixo