A posição de uma partícula no tempo
é dada por
. Quando a velocidade escalar é mínima?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a posição de uma partícula no tempo
é dada por
. Nosso objetivo aqui é descobrir quando a velocidade escalar (ou seja, a magnitude da velocidade) da partícula é mínima. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre vetores de posição, velocidade e como calcular a magnitude de um vetor.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de
em relação a
:
Passo 3
Agora que temos o vetor velocidade
, precisamos encontrar a velocidade escalar, que é a magnitude desse vetor. A magnitude de um vetor
é dada por:
Vamos calcular isso para
:
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar o valor de
que minimiza a velocidade escalar
. Para isso, podemos minimizar a função dentro da raiz, já que a raiz quadrada é uma função crescente. Assim, vamos minimizar:
Passo 5
A função
é uma parábola que abre para cima, pois o coeficiente de
é positivo. O ponto mínimo dessa função ocorre no vértice da parábola. A coordenada
do vértice de uma parábola
é dada por:
No nosso caso,
e
(já que não há termo em
), então:
Passo 6
Portanto, o valor de
que minimiza
e, consequentemente, a velocidade escalar
é
. Vamos verificar a velocidade nesse ponto:
Resposta
A velocidade escalar da partícula é mínima quando
.
Exercícios relacionados
Encontre a equação da reta tangente à curva dada no ponto dado:
.
Dê uma parametrização para as seguintes curvas: a reta
.
Dois carros se movem segundo os seguintes vetores posição:
(b) Esboce as estradas sobre as quais eles se movem.
Calcule o comprimento das curvas abaixo