Calcule o comprimento das curvas dadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de uma curva dada por no intervalo de de a . Esse tipo de problema faz parte do estudo do Cálculo Diferencial, mais especificamente do Cálculo de Comprimento de Curvas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula que calcula o comprimento de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o comprimento de uma curva parametrizada. Se temos uma curva , o comprimento dela de até é dado por:
Aqui, é a derivada da posição em relação a , e é o módulo dessa derivada.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada da nossa curva . Derivamos cada componente em relação a :
Calculando cada derivada:
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo dessa derivada, que é a norma do vetor :
Simplificando cada termo:
Então,

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto,

Passo 6

Agora que temos o módulo da derivada, podemos calcular o comprimento da curva usando a fórmula da integral:
Isso é uma integral simples de uma constante.

Passo 7

Integrando:

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

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Calcule a curvatura das curvas planas abaixo em um ponto arbitrário.