Calcule o comprimento das curvas dadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de uma curva dada por
no intervalo de
de
a
. Esse tipo de problema faz parte do estudo do Cálculo Diferencial, mais especificamente do Cálculo de Comprimento de Curvas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula que calcula o comprimento de uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o comprimento de uma curva parametrizada. Se temos uma curva
, o comprimento
dela de
até
é dado por:
Aqui,
é a derivada da posição em relação a
, e
é o módulo dessa derivada.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada da nossa curva
. Derivamos cada componente em relação a
:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo dessa derivada, que é a norma do vetor
:
Simplificando cada termo:
Então,
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto,
Passo 6
Agora que temos o módulo da derivada, podemos calcular o comprimento da curva usando a fórmula da integral:
Isso é uma integral simples de uma constante.
Passo 7
Integrando:
Resposta
O comprimento da curva é
unidades.