Suponha que uma pessoa decida iniciar uma subida em uma montanha de altura (a altura da montanha é irrelevante para o problema). Ela iniciou a subida às alcançou o topo ao meio-dia. Ela decidiu, então, ficar o resto do dia acampanda no topo e, consequentemente, passar a noite naquele local. Na manhã seguinte, ela iniciou sua descida, novamente às , e chegou ao mesmo lugar do início da subida às . Baseado nesse relato, demonstre que, em algum momento da descida, essa pessoa esteve à mesma altura, no mesmo instante, que na subida do dia anterior, não importando a velocidade que desenvolveu durante o trajeto.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado fala sobre alguém que sobe uma montanha e depois desce no dia seguinte. A gente precisa provar que, em algum momento durante a descida, essa pessoa passa pelo mesmo ponto que passou durante a subida, ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matemática, especialmente a ideia de funções contínuas e como elas se comportam. Não precisa se assustar com os termos complicados, vou explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar a subida e a descida como duas curvas no gráfico do tempo versus altura. Na subida, a pessoa começa às 8:00 e chega ao topo ao meio-dia (12:00), então a subida leva 4 horas. Na descida, ela começa de novo às 8:00 do dia seguinte e chega ao ponto de partida às 10:00, o que leva 2 horas.

Passo 3

Agora, vamos pensar em duas funções:
  • : representa a altura da pessoa durante a subida no primeiro dia, onde é o tempo desde as 8:00.
  • : representa a altura durante a descida no segundo dia, também com sendo o tempo desde as 8:00.

Passo 4

Como a pessoa está sempre subindo durante a subida e descendo durante a descida, podemos dizer que:
  • está aumentando de 0 até (o topo) ao longo de 4 horas.
  • está diminuindo de até 0 ao longo de 2 horas.

Passo 5

Para resolver o problema, vamos imaginar que estamos olhando para os dois dias ao mesmo tempo. Pense que o primeiro dia vai de 8:00 a 12:00 e o segundo de 8:00 a 10:00. Queremos encontrar um momento em que, para algum , a altura na subida seja igual à altura na descida .

Passo 6

Vamos definir uma nova função que representa a diferença entre a altura na subida e na descida:
Queremos mostrar que existe algum onde , ou seja, onde as duas alturas são iguais.

Passo 7

Sabemos que:
  • No início, às 8:00, e , então (negativo).
  • No final da descida, às 10:00, e , então (positivo).

Passo 8

Pela propriedade dos números contínuos, se uma função muda de negativa para positiva, ela deve cruzar o zero em algum ponto. Isso significa que existe um entre 0 e 2 horas onde .

Resposta

Portanto, em algum momento durante a descida, a pessoa estará na mesma altura e no mesmo instante que esteve durante a subida no dia anterior.

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