Resolva as seguintes EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Basicamente, isso significa que a taxa de variação de
em relação a
é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conteúdo de integração, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para encontrar funções a partir de suas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que fique mais fácil de integrar. Podemos escrever:
Isso significa que para encontrar
, precisamos integrar o lado direito em relação a
.
Passo 3
A próxima etapa é integrar
. Para simplificar essa integral, vamos usar um truque: multiplicar o numerador e o denominador por
. Isso nos dá:
Sabemos que
é igual a
(pela identidade pitagórica), então a expressão fica:
Passo 4
Agora, podemos separar essa fração em duas partes para facilitar a integração:
Isso nos dá duas integrais para resolver:
Passo 5
Vamos resolver a primeira integral:
. Sabemos que
é igual a
, e a integral de
é
. Então:
Passo 6
Agora, vamos para a segunda integral:
. Fazemos uma substituição para facilitar: deixe
, então
. Isso transforma a integral em:
Passo 7
Agora, juntamos as duas integrais que resolvemos:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: