Resolva as seguintes EDO dy/dx = 1/(1 - sen x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Basicamente, isso significa que a taxa de variação de em relação a é igual a . Para resolver isso, vamos precisar usar o conteúdo de integração, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para encontrar funções a partir de suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que fique mais fácil de integrar. Podemos escrever:
Isso significa que para encontrar , precisamos integrar o lado direito em relação a .

Passo 3

A próxima etapa é integrar . Para simplificar essa integral, vamos usar um truque: multiplicar o numerador e o denominador por . Isso nos dá:
Sabemos que é igual a (pela identidade pitagórica), então a expressão fica:

Passo 4

Agora, podemos separar essa fração em duas partes para facilitar a integração:
Isso nos dá duas integrais para resolver:

Passo 5

Vamos resolver a primeira integral: . Sabemos que é igual a , e a integral de é . Então:

Passo 6

Agora, vamos para a segunda integral: . Fazemos uma substituição para facilitar: deixe , então . Isso transforma a integral em:

Passo 7

Agora, juntamos as duas integrais que resolvemos:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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