(Concentração de um ín) Ao tentar determinar a acidez de uma solução saturada de hidróxido de magnésio em ácido clorídrico, um químico obteve a seguinte equação
para a concentração do íon hidrônio . Calcule a quantidade aproximada de presente nessa solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a concentração de íons hidrônio ( ) em uma solução saturada de hidróxido de magnésio em ácido clorídrico. A gente vai usar a equação que relaciona essas concentrações para encontrar o valor procurado. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação fornecida e aplicar um pouco de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que temos:
Nosso objetivo é encontrar o valor de . Para facilitar, vamos chamar de . Assim, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos eliminar o denominador multiplicando ambos os lados da equação por :
Essa é uma equação cúbica na forma:

Passo 4

Resolver uma equação cúbica pode ser complicado, mas vamos procurar uma solução aproximada. Observamos que o termo é muito pequeno em comparação com os outros termos. Isso sugere que podemos ignorar esse termo para simplificar a equação:

Passo 5

Fatorando da equação simplificada:
Isso nos dá duas soluções possíveis:
Porém, concentrações não podem ser negativas, então descartamos a segunda solução.

Passo 6

Voltando à nossa aproximação, percebemos que ignorar o termo pode ter simplificado demais. Para uma melhor precisão, vamos considerar que é pequeno, de modo que seja negligenciável comparado a . Assim, podemos reescrever a equação original como:

Passo 7

Agora, vamos resolver para :
Então, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A concentração aproximada de íons hidrônio na solução é .

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