(Concentração de um ín) Ao tentar determinar a acidez de uma solução saturada de hidróxido de magnésio em ácido clorídrico, um químico obteve a seguinte equação
para a concentração do íon hidrônio
. Calcule a quantidade aproximada de
presente nessa solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a concentração de íons hidrônio (
) em uma solução saturada de hidróxido de magnésio em ácido clorídrico. A gente vai usar a equação que relaciona essas concentrações para encontrar o valor procurado. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação fornecida e aplicar um pouco de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que temos:
Nosso objetivo é encontrar o valor de
. Para facilitar, vamos chamar
de
. Assim, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos eliminar o denominador multiplicando ambos os lados da equação por
:
Essa é uma equação cúbica na forma:
Passo 4
Resolver uma equação cúbica pode ser complicado, mas vamos procurar uma solução aproximada. Observamos que o termo
é muito pequeno em comparação com os outros termos. Isso sugere que podemos ignorar esse termo para simplificar a equação:
Passo 5
Fatorando
da equação simplificada:
Isso nos dá duas soluções possíveis:
Porém, concentrações não podem ser negativas, então descartamos a segunda solução.
Passo 6
Voltando à nossa aproximação, percebemos que ignorar o termo
pode ter simplificado demais. Para uma melhor precisão, vamos considerar que
é pequeno, de modo que
seja negligenciável comparado a
. Assim, podemos reescrever a equação original como:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Então, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A concentração aproximada de íons hidrônio na solução é
.
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A equação seguinte é exata em todo o plano XY. Determine a solucão explícita
:
Existe um número real que é exatamente uma unidade a mais do que o seu cubo? (Em caso de resposta afirmativa, forneça-o com três casas decimais de precisão.)
Suponha que uma pessoa decida iniciar uma subida em uma montanha de altura
(a altura da montanha é irrelevante para o problema). Ela iniciou a subida às
alcançou o topo ao meio-dia. Ela decidiu, então, ficar o resto do dia acampanda no topo e, consequentemente, passar a noite naquele local. Na manhã seguinte, ela iniciou sua descida, novamente às
, e chegou ao mesmo lugar do início da subida às
. Baseado nesse relato, demonstre que, em algum momento da descida, essa pessoa esteve à mesma altura, no mesmo instante, que na subida do dia anterior, não importando a velocidade que desenvolveu durante o trajeto.
Calcule o comprimento das curvas dadas.