Calcule a curvatura das curvas planas abaixo em um ponto
arbitrário.
Passo 1
Vamos calcular a curvatura da curva
em um ponto qualquer
. A curvatura é um conceito da geometria que mede o quanto uma curva está se curvando em um ponto específico. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da curvatura para curvas planas, que envolve as primeiras e segundas derivadas da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função
, que representa a inclinação da curva em cada ponto
. A derivada de
é:
Passo 3
Em seguida, encontramos a segunda derivada, que mostra a taxa de variação da inclinação. A derivada de
é:
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula da curvatura
para curvas planas:
Substituindo
e
na fórmula, temos:
Passo 5
Simplificando os termos, sabemos que o valor absoluto de
é
(já que o valor absoluto elimina o sinal negativo):
Resposta
A curvatura da curva
em um ponto
arbitrário é: