Calcule a curvatura das curvas planas abaixo em um ponto x arbitrário.
y = cos(x)

Passo 1

Vamos calcular a curvatura da curva em um ponto qualquer . A curvatura é um conceito da geometria que mede o quanto uma curva está se curvando em um ponto específico. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da curvatura para curvas planas, que envolve as primeiras e segundas derivadas da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função , que representa a inclinação da curva em cada ponto . A derivada de é:

Passo 3

Em seguida, encontramos a segunda derivada, que mostra a taxa de variação da inclinação. A derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula da curvatura para curvas planas:
Substituindo e na fórmula, temos:

Passo 5

Simplificando os termos, sabemos que o valor absoluto de é (já que o valor absoluto elimina o sinal negativo):

Resposta

A curvatura da curva em um ponto arbitrário é:

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