Calcule o comprimento das curvas dadas.
r(t) = (t, sen(t), 1 + cos(t)), 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o comprimento da curva definida por no intervalo de até . Isso está dentro do estudo de Cálculo, mais especificamente no tópico de Comprimento de Curvas ou Comprimento de arco. Pra fazer isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva . A fórmula é:
Aqui, é a derivada da função vetorial em relação a , e é o módulo dessa derivada, ou seja, a magnitude do vetor.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de :

Passo 4

Agora, vamos encontrar o módulo de :
Sabemos que , então substituindo:

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do comprimento:

Resposta

O comprimento da curva é .

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