Calcule o comprimento das curvas dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o comprimento da curva definida por
no intervalo de
até
. Isso está dentro do estudo de Cálculo, mais especificamente no tópico de Comprimento de Curvas ou Comprimento de arco. Pra fazer isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva
. A fórmula é:
Aqui,
é a derivada da função vetorial em relação a
, e
é o módulo dessa derivada, ou seja, a magnitude do vetor.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o módulo de
:
Sabemos que
, então substituindo:
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula do comprimento:
Resposta
O comprimento da curva é
.