Calcule o comprimento das curvas dadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento da curva definida pela função vetorial
no intervalo de
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula para comprimento de arco de uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função vetorial
em relação a
. Essa derivada,
, vai nos ajudar a determinar a velocidade do ponto que percorre a curva.
Passo 3
Agora, vamos calcular a norma dessa derivada, ou seja, o módulo de
. A norma nos dá a taxa de variação da posição ao longo da curva, que é essencial para calcular o comprimento total.
Sabemos que
, então:
Passo 4
Com a norma da derivada encontrada, podemos utilizar a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas:
No nosso caso,
e
, então substituindo:
Passo 5
Agora, basta calcular essa integral simples:
Resposta
O comprimento da curva é
unidades.