Calcule o comprimento das curvas dadas.
r(t) = (-sen(t), cos(t), 2), 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento da curva definida pela função vetorial no intervalo de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula para comprimento de arco de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função vetorial em relação a . Essa derivada, , vai nos ajudar a determinar a velocidade do ponto que percorre a curva.

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma dessa derivada, ou seja, o módulo de . A norma nos dá a taxa de variação da posição ao longo da curva, que é essencial para calcular o comprimento total.
Sabemos que , então:

Passo 4

Com a norma da derivada encontrada, podemos utilizar a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas:
No nosso caso, e , então substituindo:

Passo 5

Agora, basta calcular essa integral simples:

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

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