Calcule a curvatura das curvas com parametrizações abaixo em um ponto arbitrário
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a curvatura de uma curva que está parametrizada por em um ponto qualquer . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente derivadas de vetores e produto vetorial. Precisamos encontrar as derivadas da função vetorial, calcular o produto cruzado delas e aplicar a fórmula da curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a primeira derivada da função vetorial . A primeira derivada, , representa a velocidade da curva.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada da função vetorial . A segunda derivada, , representa a aceleração da curva.
Passo 4
Vamos calcular o produto cruzado entre e . O produto cruzado nos ajuda a entender como as duas derivadas estão relacionadas em termos de direção e magnitude.
Calculando o determinante:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular a magnitude do produto cruzado que obtivemos.
Passo 6
Vamos calcular também a magnitude da primeira derivada .
Podemos fatorar :
Como estamos falando de curvatura, pode ser positivo ou negativo, mas como está no denominador na fórmula da curvatura elevada ao cubo, podemos considerar positivo para simplificar.