Calcule a curvatura das curvas com parametrizações abaixo em um ponto t arbitrário
vec(r)(t) = (0, t^3, t^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a curvatura de uma curva que está parametrizada por em um ponto qualquer . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente derivadas de vetores e produto vetorial. Precisamos encontrar as derivadas da função vetorial, calcular o produto cruzado delas e aplicar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a primeira derivada da função vetorial . A primeira derivada, , representa a velocidade da curva.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada da função vetorial . A segunda derivada, , representa a aceleração da curva.

Passo 4

Vamos calcular o produto cruzado entre e . O produto cruzado nos ajuda a entender como as duas derivadas estão relacionadas em termos de direção e magnitude.
Calculando o determinante:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular a magnitude do produto cruzado que obtivemos.

Passo 6

Vamos calcular também a magnitude da primeira derivada .
Podemos fatorar :
Como estamos falando de curvatura, pode ser positivo ou negativo, mas como está no denominador na fórmula da curvatura elevada ao cubo, podemos considerar positivo para simplificar.

Passo 7

Finalmente, vamos aplicar a fórmula da curvatura:

Resposta

A curvatura da curva em um ponto arbitrário é:

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