Considere a curva dada pela função vetorial
.
Reparametrize a curva em relação ao comprimento de arco;
Reparametrize a curva em relação ao comprimento de arco;
Passo 1
Então, o exercício nos pede para reparametrizar a curva dada pela função vetorial
em relação ao comprimento de arco. Isso significa que vamos expressar a posição na curva usando o comprimento percorrido ao longo dela, ao invés do parâmetro
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas e integrais, além de entender como calcular o comprimento de arco de uma curva vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade vetorial da curva, que é a derivada da função vetorial
em relação a
. Essa velocidade vetorial nos ajuda a entender como a curva está se movendo no espaço.
Calculando cada componente:
Passo 3
Agora, vamos calcular a magnitude da velocidade vetorial, que representa a taxa de variação do comprimento de arco em relação a
. A fórmula para a magnitude é:
Simplificando:
Calculando os quadrados:
Somando:
Portanto:
Passo 4
O próximo passo é encontrar a função do comprimento de arco
, que é a integral da magnitude da velocidade vetorial em relação a
:
Assumindo
para simplificação:
Passo 5
Agora, queremos expressar
em função de
para reparametrizar a curva. A partir de
, resolvemos para
:
Passo 6
Finalmente, substituímos
na função original
pela expressão em termos de
:
Simplificando
:
Resposta
A reparametrização da curva em termos do comprimento de arco
é: