Considere a curva dada pela função vetorial r(t) = (e^t * sen(t), e^t * cos(t), raiz(2) * e^t).
Reparametrize a curva em relação ao comprimento de arco;

Passo 1

Então, o exercício nos pede para reparametrizar a curva dada pela função vetorial em relação ao comprimento de arco. Isso significa que vamos expressar a posição na curva usando o comprimento percorrido ao longo dela, ao invés do parâmetro . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas e integrais, além de entender como calcular o comprimento de arco de uma curva vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade vetorial da curva, que é a derivada da função vetorial em relação a . Essa velocidade vetorial nos ajuda a entender como a curva está se movendo no espaço.
Calculando cada componente:

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude da velocidade vetorial, que representa a taxa de variação do comprimento de arco em relação a . A fórmula para a magnitude é:
Simplificando:
Calculando os quadrados:
Somando:
Portanto:

Passo 4

O próximo passo é encontrar a função do comprimento de arco , que é a integral da magnitude da velocidade vetorial em relação a :
Assumindo para simplificação:

Passo 5

Agora, queremos expressar em função de para reparametrizar a curva. A partir de , resolvemos para :

Passo 6

Finalmente, substituímos na função original pela expressão em termos de :
Simplificando :

Resposta

A reparametrização da curva em termos do comprimento de arco é:

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