Calcule as seguintes integrais utilizando para isso o teorema dos resíduos:
onde
é o círculo orientado no sentido anti-horio de raio
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. A gente precisa calcular a integral complexa
onde
é um círculo centrado na origem com raio
, e orientado anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que é uma ferramenta poderosa na análise de integrais complexas. Vamos precisar entender um pouco sobre funções analíticas, polos e como calcular resíduos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema dos Resíduos. Basicamente, ele nos diz que se temos uma função analítica dentro e sobre uma curva fechada
, exceto por alguns pontos singulares (como polos), então a integral ao longo de
é igual a
vezes a soma dos resíduos dessas funções nos polos dentro de
.
Matematicamente:
onde
são os polos dentro de
.
Passo 3
Então, nosso próximo passo é identificar os pólos da função que está sendo integrada:
Olha só, o denominador tem
, então os possíveis pólos vêm de onde o denominador é zero.
Sabemos que
e
são zero em
, e
também é zero em
. Portanto,
é um pólo, e precisamos determinar a ordem dele.
Passo 4
Vamos analisar a ordem do pólo em
. A função
tem:
- No denominador:
- No numerador:
Sabemos que próximo de
:
Portanto,
, mais os termos de ordem superior também existem.
Juntando com
, temos
no denominador.
No numerador,
próximo de
.
Então, a função
se comporta como
perto de
, indicando que temos um pólo de ordem 5 em
.
Passo 5
Agora, precisamos calcular o resíduo de
em
. Para um pólo de ordem
, o resíduo é dado por:
No nosso caso,
, então:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da derivada:
Para facilitar, expandimos
e
em séries de Taylor:
Multiplicando
:
Então:
Multiplicando pelos
fora:
Passo 7
Agora, vamos calcular a quarta derivada de
em
:
A quarta derivada de
é:
Então:
Resposta
A integral vale
.