Calcule as seguintes integrais utilizando para isso o teorema dos resíduos:
ointC cos z cosh zz^3 sin z sinh z d z
onde C é o círculo orientado no sentido anti-horio de raio varepsilon>0.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. A gente precisa calcular a integral complexa
ointC cos z cosh zz^3 sin z sinh z , dz
onde é um círculo centrado na origem com raio , e orientado anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que é uma ferramenta poderosa na análise de integrais complexas. Vamos precisar entender um pouco sobre funções analíticas, polos e como calcular resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema dos Resíduos. Basicamente, ele nos diz que se temos uma função analítica dentro e sobre uma curva fechada ointC f(z) , dz = 2pi i sum Res(f, zk) , exceto por alguns pontos singulares (como polos), então a integral ao longo de é igual a vezes a soma dos resíduos dessas funções nos polos dentro de .
Matematicamente:
onde são os polos dentro de .

Passo 3

Então, nosso próximo passo é identificar os pólos da função que está sendo integrada:
f(z) = cos z cosh zz^3 sin z sinh z
Olha só, o denominador tem , então os possíveis pólos vêm de onde o denominador é zero.
Sabemos que e são zero em , e também é zero em . Portanto, é um pólo, e precisamos determinar a ordem dele.

Passo 4

Vamos analisar a ordem do pólo em . A função tem:
  • No denominador:
  • No numerador:
Sabemos que próximo de :
Portanto, , mais os termos de ordem superior também existem.
Juntando com , temos no denominador.
No numerador, próximo de .
Então, a função se comporta como perto de , indicando que temos um pólo de ordem 5 em .

Passo 5

Agora, precisamos calcular o resíduo de Res(f, 0) = 1(n-1)! limz to 0 d^n-1dz^n-1 [ (z - 0)^n f(z) ] em Res(f, 0) = 14! limz to 0 d^4dz^4 [ z^5 cdot cos z cosh zz^3 sin z sinh z ] = 124 limz to 0 d^4dz^4 [ cos z cosh zsin z sinh z cdot z^2 ] . Para um pólo de ordem , o resíduo é dado por:
No nosso caso, , então:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da derivada:
g(z) = cos z cosh zsin z sinh z cdot z^2
Para facilitar, expandimos sin z sinh z = (z - z^36 + dots)(z + z^36 + dots) = z^2 + termos de ordem superior e cos z cosh zsin z sinh z approx 1z^2 (1 - z^22 + z^424)(1 - z^26 + dots) em séries de Taylor:
  • g(z) approx (1 - z^22 + z^424)(1 - z^26) = 1 - 2z^23 + z^48 + dots
Multiplicando :
Então:
Multiplicando pelos fora:

Passo 7

Agora, vamos calcular a quarta derivada de g(z) approx 1 - 2z^23 + z^48 em g''''(z) = d^4dz^4 (1 - 2z^23 + z^48) = 0 - 0 + 4!8 = 248 = 3 :
Res(f, 0) = 124 times 3 = 18
A quarta derivada de é:
Então:

Resposta

A integral vale .

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