Em um experimento envolvendo cultivo de feijão, foi obtida a função abaixo que representa o comprimento da parte aérea (cm), 24 dias após o início do experimento com o plantio das sementes.
f(x, y) = -0,035 x^2 + 6,3 x - 0,035 y^2 + 0,49 y - 265,715
onde
  • x representa a quantidade de água (ml) utilizada na rega, e
  • y o período de exposição ao sol (h).
    Sabendo que o custo de 1 ml de água na rega das plantas é de R, o custo de 1 hora de exposição a uma lâmpada que simula a luz solar é o custo de 1 hora de exposição a uma lâmpada que simula a luz solar é e que dispomos de R$130,00 para gastar entre água e exposição a luz, qual a combinação ideal de água e exposição a luz que devemos comprar para obtermos a maior comprimento da parte aérea dos pés de feijão? Em outras palavras, resolva o seguinte problema restrito:
10,00

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um experimento onde queremos descobrir a melhor combinação de água ( ) e tempo de exposição ao sol ( ) para fazer o feijão crescer mais. A função que representa o comprimento da parte aérea do feijão, 24 dias depois, é:
Além disso, temos uma restrição de orçamento: cada ml de água custa R$1,00 e cada hora de luz custa R$10,00, totalizando R$130,00. Nosso objetivo é maximizar dentro desse orçamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a restrição de orçamento. Se gastarmos ml de água e horas de luz, o custo total será:
Queremos usar essa equação para relacionar e .

Passo 3

Vamos resolver a restrição para uma das variáveis. Vamos isolar :
Agora, podemos substituir na função para que a função dependa apenas de .

Passo 4

Substituindo na função original:
Vamos expandir e simplificar essa expressão.

Passo 5

Primeiro, expandimos :
Agora, substituímos de volta na função:
Vamos distribuir os coeficientes:
Simplificando cada termo:
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
Calculando:

Passo 6

Agora, temos uma função quadrática em termos de :
Para encontrar o valor de que maximiza , usamos a fórmula do vértice para funções quadráticas:
Aqui, e :

Resposta

A combinação ideal para obter o maior comprimento da parte aérea dos pés de feijão é usar aproximadamente 4 horas de exposição à luz ( ) e 90 ml de água ( ).

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