Em um experimento envolvendo cultivo de feijão, foi obtida a função abaixo que representa o comprimento da parte aérea (cm), 24 dias após o início do experimento com o plantio das sementes.
onde
-
representa a quantidade de água (ml) utilizada na rega, e
-
o período de exposição ao sol (h).
Sabendo que o custo de 1 ml de água na rega das plantas é de
, o custo de 1 hora de exposição a uma lâmpada que simula a luz solar é
e que dispomos de R$130,00 para gastar entre água e exposição a luz, qual a combinação ideal de água e exposição a luz que devemos comprar para obtermos a maior comprimento da parte aérea dos pés de feijão? Em outras palavras, resolva o seguinte problema restrito:
Sabendo que o custo de 1 ml de água na rega das plantas é de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um experimento onde queremos descobrir a melhor combinação de água (
) e tempo de exposição ao sol (
) para fazer o feijão crescer mais. A função que representa o comprimento da parte aérea do feijão, 24 dias depois, é:
Além disso, temos uma restrição de orçamento: cada ml de água custa R$1,00 e cada hora de luz custa R$10,00, totalizando R$130,00. Nosso objetivo é maximizar
dentro desse orçamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a restrição de orçamento. Se gastarmos
ml de água e
horas de luz, o custo total será:
Queremos usar essa equação para relacionar
e
.
Passo 3
Vamos resolver a restrição para uma das variáveis. Vamos isolar
:
Agora, podemos substituir
na função
para que a função dependa apenas de
.
Passo 4
Substituindo
na função original:
Vamos expandir e simplificar essa expressão.
Passo 5
Primeiro, expandimos
:
Agora, substituímos de volta na função:
Vamos distribuir os coeficientes:
Simplificando cada termo:
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
Calculando:
Passo 6
Agora, temos uma função quadrática em termos de
:
Para encontrar o valor de
que maximiza
, usamos a fórmula do vértice para funções quadráticas:
Aqui,
e
:
Resposta
A combinação ideal para obter o maior comprimento da parte aérea dos pés de feijão é usar aproximadamente 4 horas de exposição à luz (
) e 90 ml de água (
).