Mostre que o momento de inércia da superfície esférica homogênea x^2 + y^2 + z^2 = R^2, com R > 0, em relação ao eixo z, é dada por Iz = 2 M R^2 / 3 onde M é massa total da superfície.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos calcular o momento de inércia de uma superfície esférica homogênea definida pela equação , em relação ao eixo . O momento de inércia é uma medida de como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do momento de inércia para superfícies esféricas e integrar sobre toda a superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar a definição do momento de inércia em relação ao eixo . Ele é dado pela integral da massa elementar multiplicada pelo quadrado da distância dessa massa ao eixo :
onde é a distância perpendicular ao eixo .

Passo 3

Para uma esfera, a distância perpendicular ao eixo para um ponto na superfície é dada pela projeção no plano . Ou seja, . Usando a equação da esfera , podemos expressar como:

Passo 4

Agora, precisamos expressar a massa elementar em termos da superfície da esfera. A massa total está distribuída uniformemente sobre a superfície, então a densidade superficial é:
A área diferencial em coordenadas esféricas é . Portanto, a massa elementar é:

Passo 5

Substituindo e na expressão do momento de inércia:
Simplificando:

Passo 6

Vamos resolver as integrais separadamente. Primeiro, a integral em :
Agora, a integral em :
Sabemos que:
í
Para :

Passo 7

Substituindo os resultados das integrais na expressão de :

Resposta

O momento de inércia em relação ao eixo é .

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