Mostre que o momento de inércia da superfície esférica homogênea
, com
, em relação ao eixo
, é dada por
onde
é massa total da superfície.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos calcular o momento de inércia
de uma superfície esférica homogênea definida pela equação
, em relação ao eixo
. O momento de inércia é uma medida de como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do momento de inércia para superfícies esféricas e integrar sobre toda a superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar a definição do momento de inércia
em relação ao eixo
. Ele é dado pela integral da massa elementar multiplicada pelo quadrado da distância dessa massa ao eixo
:
onde
é a distância perpendicular ao eixo
.
Passo 3
Para uma esfera, a distância perpendicular ao eixo
para um ponto na superfície é dada pela projeção no plano
. Ou seja,
. Usando a equação da esfera
, podemos expressar
como:
Passo 4
Agora, precisamos expressar a massa elementar
em termos da superfície da esfera. A massa total
está distribuída uniformemente sobre a superfície, então a densidade superficial
é:
A área diferencial em coordenadas esféricas é
. Portanto, a massa elementar é:
Passo 5
Substituindo
e
na expressão do momento de inércia:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver as integrais separadamente. Primeiro, a integral em
:
Agora, a integral em
:
Sabemos que:
Para
:
Passo 7
Substituindo os resultados das integrais na expressão de
:
Resposta
O momento de inércia em relação ao eixo
é
.