Calcule o comprimento das curvas parametrizadas abaixo.
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento da curva parametrizada dada por:
Aqui, estamos lidando com curvas parametrizadas no plano, onde é uma constante e é o parâmetro que varia de a . Para encontrar o comprimento dessa curva, vamos usar o fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada. Se temos uma curva dada por e , o comprimento da curva de a é dado por:
Essa fórmula basicamente soma todos os pequenos pedaços do comprimento da curva, calculando a hipotenusa de pequenos triângulos formados por e .

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula à nossa curva específica. Primeiro, encontramos as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Então:

Passo 5

Fatorando de dentro da raiz:
Sabemos que (essa é uma identidade trigonométrica fundamental).
Então:

Passo 6

A integral agora é simples de calcular:

Resposta

O comprimento da curva é .

Exercícios relacionados

Considere a sequência definida por e , para todo .
a) Mostre que .
b) Mostre que é monótona.
c) Usando os itens acima, justifique a convergência de e encontre .
Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(n) A hipérbole de equação .
As funções são linearmente independentes?
Faça um esboço das curvas definidas pelas equações paramétricas abaixo, indicando
a orientação.
(b) .