Calcule o comprimento das curvas parametrizadas abaixo.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento da curva parametrizada dada por:
Aqui, estamos lidando com curvas parametrizadas no plano, onde
é uma constante e
é o parâmetro que varia de
a
. Para encontrar o comprimento dessa curva, vamos usar o fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada. Se temos uma curva dada por
e
, o comprimento
da curva de
a
é dado por:
Essa fórmula basicamente soma todos os pequenos pedaços do comprimento da curva, calculando a hipotenusa de pequenos triângulos formados por
e
.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula à nossa curva específica. Primeiro, encontramos as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Então:
Passo 5
Fatorando
de dentro da raiz:
Sabemos que
(essa é uma identidade trigonométrica fundamental).
Então:
Passo 6
A integral agora é simples de calcular:
Resposta
O comprimento da curva
é
.