Considere a sequência (xn) definida por x1=12 e xn+1=4 xnpi arctg(xn), para todo n in N.
a) Mostre que 0.
b) Mostre que (xn) é monótona.
c) Usando os itens acima, justifique a convergência de (xn) e encontre lim n infty xn.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma sequência definida por e para todo número natural . A matéria que vamos usar envolve sequências numéricas, propriedades de funções como a arctangente, e conceitos como monotonicidade e convergência. Precisamos provar três coisas:
a) Que todos os termos da sequência estão entre 0 e 1.
b) Que a sequência é monótona (crescente ou decrescente).
c) Que a sequência converge e descobrir qual é o seu limite.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que para todo . Inicialmente, temos , que claramente está entre 0 e 1.

Passo 3

Agora, assumimos que para algum , . Vamos ver o que acontece com .
A função arctangente, , tem valores positivos para e é crescente. Além disso, sabemos que .

Passo 4

Vamos calcular 0 < 4 xnpi arctan(xn) < 4 xnpi cdot pi4 = xn .
Como , temos .
Então:
Isso mostra que , mantendo entre 0 e 1.

Passo 5

Agora, vamos mostrar que a sequência é monótona. Pelo passo anterior, vimos que , ou seja, cada termo é menor que o anterior. Isso significa que a sequência é decrescente.

Passo 6

Como a sequência é limitada inferiormente por 0 (continua sendo positiva) e é decrescente, pelo Teorema da Monotonicidade, ela converge.
Vamos chamar o limite de L = limn to infty xn :

Passo 7

Para encontrar L = 4 Lpi arctan(L) , vamos passar ao limite na relação de recorrência:
1 = 4pi arctan(L)
Podemos simplificar:
arctan(L) = pi4

Passo 8

Sabemos que L = 1 , então:

Resposta

A sequência converge para .

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