Considere a sequência
definida por
e
, para todo
.
a) Mostre que
.
b) Mostre que
é monótona.
c) Usando os itens acima, justifique a convergência de
e encontre
.
a) Mostre que
b) Mostre que
c) Usando os itens acima, justifique a convergência de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma sequência definida por
e
para todo número natural
. A matéria que vamos usar envolve sequências numéricas, propriedades de funções como a arctangente, e conceitos como monotonicidade e convergência. Precisamos provar três coisas:
a) Que todos os termos da sequência estão entre 0 e 1.
b) Que a sequência é monótona (crescente ou decrescente).
c) Que a sequência converge e descobrir qual é o seu limite.
a) Que todos os termos da sequência estão entre 0 e 1.
b) Que a sequência é monótona (crescente ou decrescente).
c) Que a sequência converge e descobrir qual é o seu limite.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
para todo
. Inicialmente, temos
, que claramente está entre 0 e 1.
Passo 3
Agora, assumimos que para algum
,
. Vamos ver o que acontece com
.
A função arctangente,
, tem valores positivos para
e é crescente. Além disso, sabemos que
.
Passo 4
Vamos calcular
.
Como
, temos
.
Então:
Isso mostra que
, mantendo
entre 0 e 1.
Passo 5
Agora, vamos mostrar que a sequência é monótona. Pelo passo anterior, vimos que
, ou seja, cada termo é menor que o anterior. Isso significa que a sequência é decrescente.
Passo 6
Como a sequência é limitada inferiormente por 0 (continua sendo positiva) e é decrescente, pelo Teorema da Monotonicidade, ela converge.
Vamos chamar o limite de
:
Passo 7
Para encontrar
, vamos passar ao limite na relação de recorrência:
Podemos simplificar:
Passo 8
Sabemos que
, então:
Resposta
A sequência
converge para
.
Exercícios relacionados
Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(n) A hipérbole de equação .
(n) A hipérbole de equação
Considere a sequência
dada por
e
, para todo
. Mostre que
.
Calcule o comprimento das curvas parametrizadas abaixo.
(b) .
(b)
As funções são linearmente independentes?