Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(n) A hipérbole de equação
.
(n) A hipérbole de equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever equações paramétricas para uma hipérbole dada pela equação
. Aqui, estamos lidando com o conteúdo de Geometria Analítica, especificamente com hipérboles. Vamos precisar entender a forma padrão das equações paramétricas da hipérbole e como identificar a orientação dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma hipérbole que abre verticalmente (para cima e para baixo) é dada por
. Isso significa que nossa hipérbole está centrada no ponto
e abre na direção vertical.
Passo 3
Para encontrar as equações paramétricas, usamos funções hiperbólicas semelhantes às funções trigonométricas para círculos. As equações paramétricas de uma hipérbole vertical são:
Aqui,
é o parâmetro que varia ao longo das curvas da hipérbole,
é a função seno hiperbólico e
é a função cosseno hiperbólico.
Passo 4
A orientação da hipérbole indica para quais direções as ramos da hipérbole se abrem. Como nossa hipérbole tem a forma
, ela se abre para cima e para baixo.
Resposta
As equações paramétricas para a hipérbole são:
A hipérbole está orientada verticalmente, abrindo para cima e para baixo.