Faça um esboço das curvas definidas pelas equações paramétricas abaixo, indicando
a orientação.
(b) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para fazermos um esboço da curva definida pelas equações paramétricas dadas, indicando a orientação. O assunto aqui é curvas no espaço tridimensional e vamos precisar entender como representar essas curvas usando equações paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada equação representa. As equações paramétricas são:
Aqui, é o parâmetro que varia, e para cada valor de , a gente consegue um ponto no espaço.
Passo 3
Vamos analisar cada uma das coordenadas:
: Isso mostra que depende do quadrado de , então conforme aumenta, aumenta de forma não linear.
: Isso significa que a coordenada é sempre constante, igual a 2, independente do valor de .
: Aqui, aumenta linearmente conforme aumenta.
Passo 4
Como é sempre 2, a curva está completamente contida no plano . Então, podemos simplificar nossa análise para duas dimensões, observando apenas as coordenadas e .
Passo 5
No plano , temos:
Podemos expressar em função de substituindo :
Isso representa uma parábola que abre na direção positiva de , já que o termo quadrático é positivo.
Passo 6
Como , também é maior ou igual a 0. Então, a parábola só existe para valores de .
Passo 7
Para indicar a orientação da curva, observamos que conforme aumenta de 0 para valores maiores, aumenta, e consequentemente, também aumenta seguindo a parábola. Portanto, a orientação vai do ponto onde (ou seja, , , ) na direção de positivo.
Resposta
A curva definida pelas equações paramétricas é uma parábola no plano , com a orientação indo do ponto na direção de positivo. O esboço é uma parábola que abre na direção positiva do eixo , começando no ponto .