Faça um esboço das curvas definidas pelas equações paramétricas abaixo, indicando
a orientação.
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para fazermos um esboço da curva definida pelas equações paramétricas dadas, indicando a orientação. O assunto aqui é curvas no espaço tridimensional e vamos precisar entender como representar essas curvas usando equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada equação representa. As equações paramétricas são:
Aqui, é o parâmetro que varia, e para cada valor de , a gente consegue um ponto no espaço.

Passo 3

Vamos analisar cada uma das coordenadas:
  • : Isso mostra que depende do quadrado de , então conforme aumenta, aumenta de forma não linear.
  • : Isso significa que a coordenada é sempre constante, igual a 2, independente do valor de .
  • : Aqui, aumenta linearmente conforme aumenta.

Passo 4

Como é sempre 2, a curva está completamente contida no plano . Então, podemos simplificar nossa análise para duas dimensões, observando apenas as coordenadas e .

Passo 5

No plano , temos:
Podemos expressar em função de substituindo :
Isso representa uma parábola que abre na direção positiva de , já que o termo quadrático é positivo.

Passo 6

Como , também é maior ou igual a 0. Então, a parábola só existe para valores de .

Passo 7

Para indicar a orientação da curva, observamos que conforme aumenta de 0 para valores maiores, aumenta, e consequentemente, também aumenta seguindo a parábola. Portanto, a orientação vai do ponto onde (ou seja, , , ) na direção de positivo.

Resposta

A curva definida pelas equações paramétricas é uma parábola no plano , com a orientação indo do ponto na direção de positivo. O esboço é uma parábola que abre na direção positiva do eixo , começando no ponto .

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(b) .
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