As funções são linearmente independentes?
e^(a x) e^(-a x)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pergunta se as funções e são linearmente independentes. Vamos usar o conteúdo de independência linear de funções e para resolver isso, vamos precisar calcular o Wronskiano dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa duas funções serem linearmente independentes. Basicamente, duas funções são linearmente independentes se nenhuma delas pode ser escrita como uma combinação linear da outra. Ou seja, não existe constantes e , diferentes de zero, que satisfaçam para todo .

Passo 3

Para verificar a independência linear, vamos calcular o Wronskiano das duas funções. O Wronskiano de duas funções e é dado por:
Esse determinante nos ajuda a verificar se as funções são linearmente independentes. Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto, as funções são linearmente independentes.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas das funções:
  • então
  • então

Passo 5

Agora, montamos a matriz do Wronskiano:
Calculando o determinante:

Passo 6

O Wronskiano é uma constante diferente de zero (desde que ). Isso significa que as funções e são linearmente independentes.

Resposta

Sim, as funções e são linearmente independentes.

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