As funções são linearmente independentes?

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pergunta se as funções e são linearmente independentes. Vamos usar o conteúdo de independência linear de funções e para resolver isso, vamos precisar calcular o Wronskiano dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa duas funções serem linearmente independentes. Basicamente, duas funções são linearmente independentes se nenhuma delas pode ser escrita como uma combinação linear da outra. Ou seja, não existe constantes e , diferentes de zero, que satisfaçam para todo .

Passo 3

Para verificar a independência linear, vamos calcular o Wronskiano das duas funções. O Wronskiano de duas funções e é dado por:
Esse determinante nos ajuda a verificar se as funções são linearmente independentes. Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto, as funções são linearmente independentes.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas das funções:
  • então
  • então

Passo 5

Agora, montamos a matriz do Wronskiano:
Calculando o determinante:

Passo 6

O Wronskiano é uma constante diferente de zero (desde que ). Isso significa que as funções e são linearmente independentes.

Resposta

Sim, as funções e são linearmente independentes.

Exercícios relacionados

Calcule o comprimento das curvas parametrizadas abaixo.
(b) .
Considere a sequência definida por e , para todo .
a) Mostre que .
b) Mostre que é monótona.
c) Usando os itens acima, justifique a convergência de e encontre .
Faça um esboço das curvas definidas pelas equações paramétricas abaixo, indicando
a orientação.
(b) .
Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(h) O círculo de centro em e raio .