Calcule o comprimento das curvas parametrizadas abaixo.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre comprimento de curvas. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada e fazer alguns cálculos com derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o comprimento de uma curva parametrizada por e no intervalo . A fórmula é:
Essa fórmula basicamente soma todos os pequenos pedaços da curva para achar o comprimento total.

Passo 3

Agora, vamos identificar as funções e que nos foram dadas:
Nosso intervalo é de até .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento, temos:
á

Resposta

O comprimento da curva é .

Exercícios relacionados

Considere a função
Expanda em série de Fourier no intervalo .
Considere as curvas definidas pelas parametrizações abaixo:
e .
(d) Descreva quantas voltas no círculo cada uma das formiguinhas dá.
(3,0 pontos) Considere a seguinte equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem
Determine a solução da EDO que atende as condições iniciais e .
Mostre que o comprimento da curva que é o gráfico da função é dado pela fórmula . Use esta fórmula para calcular o comprimento da parábola de equação .