(3,0 pontos) Considere a seguinte equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem
Determine a solução da EDO que atende as condições iniciais
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
A gente precisa encontrar a solução dessa equação que satisfaz as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais ordinárias, especialmente focando nas equações de Legendre, já que a forma dessa EDO se parece com elas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo da equação. A forma geral da equação de Legendre é:
Comparando com a nossa equação, vemos que
. Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
.
Passo 3
Resolvendo
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então,
ou
. Geralmente, usamos
positivo, então
.
Passo 4
Sabendo que
, a solução geral da equação de Legendre é uma combinação das soluções de Legendre de primeira espécie (
) e de segunda espécie (
). Mas, para evitar complicações com as soluções de segunda espécie e como temos condições iniciais no ponto
, vamos considerar apenas
, que é o polinômio de Legendre de segunda ordem.
O polinômio de Legendre de ordem 2 é:
Passo 5
Agora, vamos montar a solução geral:
Mas como queremos uma solução que seja bem comportada em todo o intervalo e atendendo às condições iniciais, vamos usar apenas
. Então:
Passo 6
Aplicando as condições iniciais para determinar a constante
.
Primeiro,
:
Então, a solução é:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule o comprimento das curvas parametrizadas abaixo.
© .
©
Considere a função
Expanda
em série de Fourier no intervalo
.
Mostre que o comprimento da curva
que é o gráfico da função
é dado pela fórmula
. Use esta fórmula para calcular o comprimento da parábola de equação
.
Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(g) O semicírculo superior: .
(g) O semicírculo superior: