(3,0 pontos) Considere a seguinte equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem
(1 - x^2) y'' - 2 x y' + 6 y = 0, y(x)
Determine a solução da EDO que atende as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
A gente precisa encontrar a solução dessa equação que satisfaz as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais ordinárias, especialmente focando nas equações de Legendre, já que a forma dessa EDO se parece com elas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo da equação. A forma geral da equação de Legendre é:
Comparando com a nossa equação, vemos que . Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de .

Passo 3

Resolvendo :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, ou . Geralmente, usamos positivo, então .

Passo 4

Sabendo que , a solução geral da equação de Legendre é uma combinação das soluções de Legendre de primeira espécie ( ) e de segunda espécie ( ). Mas, para evitar complicações com as soluções de segunda espécie e como temos condições iniciais no ponto , vamos considerar apenas , que é o polinômio de Legendre de segunda ordem.
O polinômio de Legendre de ordem 2 é:

Passo 5

Agora, vamos montar a solução geral:
Mas como queremos uma solução que seja bem comportada em todo o intervalo e atendendo às condições iniciais, vamos usar apenas . Então:

Passo 6

Aplicando as condições iniciais para determinar a constante .
Primeiro, :
Então, a solução é:

Resposta

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