Mostre que o comprimento da curva C que é o gráfico da função f:[a, b] R é dado pela fórmula L(C)=integrala^b raiz1+[f^prime(x)]^2 d x. Use esta fórmula para calcular o comprimento da parábola de equação y=x^2, 0 <= x <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que o comprimento de uma curva L(C) = integrala^b raiz1 + [f^prime(x)]^2 , dx , que é o gráfico de uma função , pode ser calculado usando a fórmula:
Depois disso, precisamos usar essa fórmula para calcular o comprimento da parábola no intervalo de a . Vamos precisar entender um pouquinho sobre cálculo de comprimento de curvas e derivadas para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o comprimento de uma curva. Quando queremos medir o comprimento de uma curva no plano, estamos basicamente somando infinitesimais segmentos de reta ao longo dessa curva. A ideia é integrar esses pequenos comprimentos para obter o comprimento total.

Passo 3

Agora, vamos derivar a fórmula do comprimento da curva. Imagine que temos uma função definida de a . Se considerarmos um pequeno incremento , o incremento correspondente em será .

Passo 4

Para um pequeno segmento da curva, usando o teorema de Pitágoras, o comprimento aproximado De desse segmento será:

Passo 5

Dividindo tudo por De e tomando o limite quando tende a zero, obtemos a derivada de :

Passo 6

Integrando essa expressão de L(C) = integrala^b raiz1 + [f^prime(x)]^2 , dx a , obtemos o comprimento total da curva:
Assim, mostramos a fórmula que queríamos.

Passo 7

Agora, vamos aplicar essa fórmula para encontrar o comprimento da parábola no intervalo de a . Primeiro, identificamos .

Passo 8

Calculamos a derivada de f^prime(x) = ddx(x^2) = 2x :

Passo 9

Substituímos L(C) = integral0^1 raiz1 + (2x)^2 , dx = integral0^1 raiz1 + 4x^2 , dx na fórmula do comprimento:

Passo 10

Para resolver a integral u2 raiza^2 + u^2 + a^22 ln(u + raiza^2 + u^2) + C , fazemos uma substituição trigonométrica ou usamos uma tabela de integrais. Nesse caso, reconhecemos que essa integral corresponde à forma , cuja antiderivada é:
Aqui, e .

Passo 11

Aplicando essa antiderivada:
L(C) = [ 2x2 raiz1 + (2x)^2 + 12 ln(2x + raiz1 + 4x^2) ]0^1
Simplificando:
L(C) = [ x raiz1 + 4x^2 + 12 ln(2x + raiz1 + 4x^2) ]0^1

Passo 12

Calculando nos limites de 1 cdot raiz1 + 4(1)^2 + 12 ln(2(1) + raiz1 + 4(1)^2) = raiz5 + 12 ln(2 + raiz5) a 0 cdot raiz1 + 0 + 12 ln(0 + raiz1 + 0) = 0 + 12 ln(1) = 0 :
Para :
Para :

Resposta

Portanto, o comprimento da parábola L(C) = raiz5 + 12 ln(2 + raiz5) de a é:

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