Mostre que o comprimento da curva
que é o gráfico da função
é dado pela fórmula
. Use esta fórmula para calcular o comprimento da parábola de equação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que o comprimento de uma curva
, que é o gráfico de uma função
, pode ser calculado usando a fórmula:
Depois disso, precisamos usar essa fórmula para calcular o comprimento da parábola
no intervalo de
a
. Vamos precisar entender um pouquinho sobre cálculo de comprimento de curvas e derivadas para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o comprimento de uma curva. Quando queremos medir o comprimento de uma curva no plano, estamos basicamente somando infinitesimais segmentos de reta ao longo dessa curva. A ideia é integrar esses pequenos comprimentos para obter o comprimento total.
Passo 3
Agora, vamos derivar a fórmula do comprimento da curva. Imagine que temos uma função
definida de
a
. Se considerarmos um pequeno incremento
, o incremento correspondente em
será
.
Passo 4
Para um pequeno segmento da curva, usando o teorema de Pitágoras, o comprimento aproximado
desse segmento será:
Passo 5
Dividindo tudo por
e tomando o limite quando
tende a zero, obtemos a derivada de
:
Passo 6
Integrando essa expressão de
a
, obtemos o comprimento total da curva:
Assim, mostramos a fórmula que queríamos.
Passo 7
Agora, vamos aplicar essa fórmula para encontrar o comprimento da parábola
no intervalo de
a
. Primeiro, identificamos
.
Passo 8
Calculamos a derivada de
:
Passo 9
Substituímos
na fórmula do comprimento:
Passo 10
Para resolver a integral
, fazemos uma substituição trigonométrica ou usamos uma tabela de integrais. Nesse caso, reconhecemos que essa integral corresponde à forma
, cuja antiderivada é:
Aqui,
e
.
Passo 11
Aplicando essa antiderivada:
Simplificando:
Passo 12
Calculando nos limites de
a
:
Para
:
Para
:
Resposta
Portanto, o comprimento da parábola
de
a
é:
Exercícios relacionados
(3,0 pontos) Considere a seguinte equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem
Determine a solução da EDO que atende as condições iniciais
e
.
Calcule o comprimento das curvas parametrizadas abaixo.
© .
©
Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(g) O semicírculo superior: .
(g) O semicírculo superior:
Considere a sequência
dada por
e
, para todo
. Mostre que
.