Mostre que o comprimento da curva que é o gráfico da função é dado pela fórmula . Use esta fórmula para calcular o comprimento da parábola de equação .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que o comprimento de uma curva , que é o gráfico de uma função , pode ser calculado usando a fórmula:
Depois disso, precisamos usar essa fórmula para calcular o comprimento da parábola no intervalo de a . Vamos precisar entender um pouquinho sobre cálculo de comprimento de curvas e derivadas para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o comprimento de uma curva. Quando queremos medir o comprimento de uma curva no plano, estamos basicamente somando infinitesimais segmentos de reta ao longo dessa curva. A ideia é integrar esses pequenos comprimentos para obter o comprimento total.

Passo 3

Agora, vamos derivar a fórmula do comprimento da curva. Imagine que temos uma função definida de a . Se considerarmos um pequeno incremento , o incremento correspondente em será .

Passo 4

Para um pequeno segmento da curva, usando o teorema de Pitágoras, o comprimento aproximado desse segmento será:

Passo 5

Dividindo tudo por e tomando o limite quando tende a zero, obtemos a derivada de :

Passo 6

Integrando essa expressão de a , obtemos o comprimento total da curva:
Assim, mostramos a fórmula que queríamos.

Passo 7

Agora, vamos aplicar essa fórmula para encontrar o comprimento da parábola no intervalo de a . Primeiro, identificamos .

Passo 8

Calculamos a derivada de :

Passo 9

Substituímos na fórmula do comprimento:

Passo 10

Para resolver a integral , fazemos uma substituição trigonométrica ou usamos uma tabela de integrais. Nesse caso, reconhecemos que essa integral corresponde à forma , cuja antiderivada é:
Aqui, e .

Passo 11

Aplicando essa antiderivada:
Simplificando:

Passo 12

Calculando nos limites de a :
Para :
Para :

Resposta

Portanto, o comprimento da parábola de a é:

Exercícios relacionados

(3,0 pontos) Considere a seguinte equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem
Determine a solução da EDO que atende as condições iniciais e .
Calcule o comprimento das curvas parametrizadas abaixo.
© .
Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(g) O semicírculo superior: .
Considere a sequência dada por e , para todo . Mostre que .