Considere as curvas definidas pelas parametrizações abaixo:
e .
(d) Descreva quantas voltas no círculo cada uma das formiguinhas dá.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três curvas definidas por parametrizações diferentes e precisa descobrir quantas voltas cada uma delas dá em um círculo. Para isso, vamos usar conceitos de parametrização de curvas e entender como o ângulo varia conforme o tempo .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a curva . Ela é dada por:
Aqui, vai de a , que é um ciclo completo de ângulo em radianos. As funções seno e cosseno vão fazer a curva percorrer o círculo uma vez.

Passo 3

Agora, vamos para a curva :
Aqui, varia de a , o que significa que o ângulo completa dois ciclos de cada. Como o seno e o cosseno se repetem a cada , essa curva vai dar duas voltas completas no círculo.

Passo 4

Por último, vamos analisar a curva :
Aqui, o argumento das funções seno e cosseno é . Quando varia de a , varia de a . Isso significa que o ângulo completa dois ciclos completos de , então a curva dá duas voltas no círculo.

Resposta

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(3,0 pontos) A função pode ser expandida em série de Taylor na forma
Escolha um possível valor para e, então, calcule os coeficientes .
Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(1) A hipérbole de equação .
Considere a função
Expanda em série de Fourier no intervalo .
Calcule o comprimento das curvas parametrizadas abaixo.
© .