Considere as curvas definidas pelas parametrizações abaixo:
C1:lx=sin t y=cos t, 0 <= t <= 2 pi ; C2:lx=cos t y=sin t, 0 <= t <= 4 pi e C3:lx=cos 2 t y=sin 2 t, 0 <= t <= 2 pi.
(d) Descreva quantas voltas no círculo cada uma das formiguinhas dá.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três curvas definidas por parametrizações diferentes e precisa descobrir quantas voltas cada uma delas dá em um círculo. Para isso, vamos usar conceitos de parametrização de curvas e entender como o ângulo varia conforme o tempo .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a curva C1: l x = sin t y = cos t , 0 <= t <= 2pi . Ela é dada por:
Aqui, vai de a , que é um ciclo completo de ângulo em radianos. As funções seno e cosseno vão fazer a curva percorrer o círculo uma vez.

Passo 3

Agora, vamos para a curva C2: l x = cos t y = sin t , 0 <= t <= 4pi :
Aqui, varia de a , o que significa que o ângulo completa dois ciclos de cada. Como o seno e o cosseno se repetem a cada , essa curva vai dar duas voltas completas no círculo.

Passo 4

Por último, vamos analisar a curva C3: l x = cos 2t y = sin 2t , 0 <= t <= 2pi :
Aqui, o argumento das funções seno e cosseno é . Quando varia de a , varia de a . Isso significa que o ângulo completa dois ciclos completos de , então a curva dá duas voltas no círculo.

Resposta

C1 &: 1 vo

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