Considere a função
f(x) = { x + pi, -pi < x < 0; - (x - pi), 0 <= x < pi }
Expanda f(x) em série de Fourier no intervalo -pi < x < pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para expandir a função em uma série de Fourier no intervalo . Primeiro, vamos resumir o que a função faz e identificar o conteúdo que vamos precisar.
Função dada:
Conteúdo da matéria:
  • Série de Fourier: Representação de funções periódicas como soma de senos e cossenos.
  • Fórmulas de coeficientes de Fourier: Cálculo dos coeficientes , e .
O que vamos precisar:
  1. Calcular o coeficiente (termo constante).
  2. Calcular os coeficientes (de cossenos) e (de senos).
  3. Montar a série de Fourier com esses coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o coeficiente , que representa o valor médio da função no intervalo considerado. A fórmula para é:
Vamos dividir a integral conforme a definição da função:

Passo 3

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
Calculando:
Avaliado de a :
Segunda integral:
Calculando:
Avaliado de a :

Passo 4

Agora, somamos os resultados das duas integrais para encontrar :

Passo 5

Vamos calcular agora os coeficientes para os termos de cosseno. A fórmula é:
Como a função é par ( ), os coeficientes (de seno) serão zero. Portanto, só precisamos calcular .

Passo 6

Novamente, dividimos a integral conforme a definição da função:
Vamos resolver cada integral separadamente usando integração por partes.

Passo 7

Primeira integral:
Vamos usar integração por partes onde:
Aplicando a fórmula:
Avaliado de a :
Segunda integral:
Resolvendo cada parte:
Para :
Aplicando:
Avaliado de a :
Para :
(since )
Portanto, a segunda integral total é:

Passo 8

Somando as duas integrais:
Observando que , temos:

Passo 9

Agora, juntamos tudo para escrever a série de Fourier. Como , a série fica:
Substituindo e :

Resposta

A série de Fourier da função no intervalo é:

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