Beleza, vamos lá! A questão pede para expandir a função em uma série de Fourier no intervalo . Primeiro, vamos resumir o que a função faz e identificar o conteúdo que vamos precisar.
Função dada:
Conteúdo da matéria:
Série de Fourier: Representação de funções periódicas como soma de senos e cossenos.
Fórmulas de coeficientes de Fourier: Cálculo dos coeficientes , e .
O que vamos precisar:
Calcular o coeficiente (termo constante).
Calcular os coeficientes (de cossenos) e (de senos).
Montar a série de Fourier com esses coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o coeficiente , que representa o valor médio da função no intervalo considerado. A fórmula para é:
Vamos dividir a integral conforme a definição da função:
Passo 3
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
Calculando:
Avaliado de a :
Segunda integral:
Calculando:
Avaliado de a :
Passo 4
Agora, somamos os resultados das duas integrais para encontrar :
Passo 5
Vamos calcular agora os coeficientes para os termos de cosseno. A fórmula é:
Como a função é par (), os coeficientes (de seno) serão zero. Portanto, só precisamos calcular .
Passo 6
Novamente, dividimos a integral conforme a definição da função:
Vamos resolver cada integral separadamente usando integração por partes.
Passo 7
Primeira integral:
Vamos usar integração por partes onde:
⇒
⇒
Aplicando a fórmula:
Avaliado de a :
Segunda integral:
Resolvendo cada parte:
Para :
⇒
⇒
Aplicando:
Avaliado de a :
Para :
(since )
Portanto, a segunda integral total é:
Passo 8
Somando as duas integrais:
Observando que , temos:
Passo 9
Agora, juntamos tudo para escrever a série de Fourier. Como , a série fica: