Calcule o comprimento das curvas parametrizadas abaixo.
(a) C: { x = r * cos(t), y = r * sen(t), 0 <= t <= 2 * pi }.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o comprimento de uma curva parametrizada. A curva dada é:
Vamos usar o conteúdo de cálculo de comprimentos de curvas paramétricas para resolver isso. Para isso, precisamos da fórmula do comprimento da curva parametrizada.

Passo 2

A fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada por e no intervalo é:
Vamos aplicar essa fórmula à nossa curva.

Passo 3

Primeiro, calculamos as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:
Simplificando os termos dentro da raiz:
Então:

Passo 5

Fatorando dentro da raiz:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, a integral fica simples:

Resposta

O comprimento da curva é .

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