Calcule o comprimento das curvas parametrizadas abaixo.
(a)
.
(a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o comprimento de uma curva parametrizada. A curva dada é:
Vamos usar o conteúdo de cálculo de comprimentos de curvas paramétricas para resolver isso. Para isso, precisamos da fórmula do comprimento da curva parametrizada.
Passo 2
A fórmula para calcular o comprimento
de uma curva parametrizada por
e
no intervalo
é:
Vamos aplicar essa fórmula à nossa curva.
Passo 3
Primeiro, calculamos as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:
Simplificando os termos dentro da raiz:
Então:
Passo 5
Fatorando
dentro da raiz:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, a integral fica simples:
Resposta
O comprimento da curva
é
.