Uma partícula se move no plano de maneira que seu movimento é descrito pelas equações paramétricas . Supondo que a unidade de medida das coordenadas e seja o metro, obtenha a distância total percorrida pela partícula.
Passo 1
Vamos entender o problema: temos uma partícula que se move no plano seguindo as equações paramétricas e , onde varia de a . Queremos descobrir qual é a distância total que essa partícula percorre nesse intervalo de tempo. Para resolver isso, vamos usar o conceito de arco de uma curva, que nos permite calcular a distância percorrida por uma trajetória definida por funções paramétricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a fórmula para calcular o comprimento de uma curva definida pelas equações paramétricas e no intervalo de a é:
Essa fórmula nos dá a distância percorrida ao calcular infinitesimais de comprimento ao longo da curva e somá-los.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de e em relação a :
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento da curva:
Simplificando dentro da raiz:
Então:
Passo 5
Sabemos pela identidade trigonométrica que:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Integrando:
Resposta
A distância total percorrida pela partícula é metros.