Uma partícula se move no plano de maneira que seu movimento é descrito pelas equações paramétricas C: { x = cos(t), y = sen(t), 0 <= t <= 5 pi }. Supondo que a unidade de medida das coordenadas x e y seja o metro, obtenha a distância total percorrida pela partícula.

Passo 1

Vamos entender o problema: temos uma partícula que se move no plano seguindo as equações paramétricas e , onde varia de a . Queremos descobrir qual é a distância total que essa partícula percorre nesse intervalo de tempo. Para resolver isso, vamos usar o conceito de arco de uma curva, que nos permite calcular a distância percorrida por uma trajetória definida por funções paramétricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a fórmula para calcular o comprimento de uma curva definida pelas equações paramétricas e no intervalo de a é:
Essa fórmula nos dá a distância percorrida ao calcular infinitesimais de comprimento ao longo da curva e somá-los.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento da curva:
Simplificando dentro da raiz:
Então:

Passo 5

Sabemos pela identidade trigonométrica que:
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Integrando:

Resposta

A distância total percorrida pela partícula é metros.

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