Suponha que f(x) e g(x) existem para qualquer x e que lim x 0 f(x)=-7 e lim x 0 g(x)=0. Determine o limite quando x 0 para as seguintes funções: x cos x+x^2g(x)-1

Passo 1

Então, o exercício pede para a gente encontrar o limite da função quando se aproxima de 0. A gente sabe que e . Vamos usar conceitos de limites e operações básicas com limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador da fração: limx 0 (x cos x + x^2) = limx 0 x cos x + limx 0 x^2 = 0 times 1 + 0 = 0 . Precisamos encontrar o limite disso quando tende a 0.
Sabemos que:
  • (A função cosseno de x tende a 1 quando x se aproxima de 0)
  • (Claro, porque x está indo para 0)
  • (Também tende a 0)
Então, aplicando a propriedade dos limites que permite separar a soma:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador da fração: limx 0 (g(x) - 1) = limx 0 g(x) - limx 0 1 = 0 - 1 = -1 . Precisamos encontrar o limite disso quando tende a 0.
Sabemos que:
  • (Dado no enunciado)
Então:

Passo 4

Agora que temos os limites do numerador e do denominador, podemos calcular o limite da fração inteira. Usamos a propriedade de que o limite do quociente é igual ao quociente dos limites, desde que o limite do denominador não seja zero (o que não é o caso aqui, já que é -1).
Então:
limx 0 x cos x + x^2g(x) - 1 = limx 0 (x cos x + x^2)limx 0 (g(x) - 1) = 0-1 = 0

Resposta

O limite quando tende a 0 da função é 0.

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