Suponha que
e
existem para qualquer
e que
e
. Determine o limite quando
para as seguintes funções:
Passo 1
Então, o exercício pede para a gente encontrar o limite da função
quando
se aproxima de 0. A gente sabe que
e
. Vamos usar conceitos de limites e operações básicas com limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador da fração:
. Precisamos encontrar o limite disso quando
tende a 0.
Sabemos que:
-
(A função cosseno de x tende a 1 quando x se aproxima de 0) -
(Claro, porque x está indo para 0) -
(Também tende a 0)
Então, aplicando a propriedade dos limites que permite separar a soma:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador da fração:
. Precisamos encontrar o limite disso quando
tende a 0.
Sabemos que:
-
(Dado no enunciado)
Então:
Passo 4
Agora que temos os limites do numerador e do denominador, podemos calcular o limite da fração inteira. Usamos a propriedade de que o limite do quociente é igual ao quociente dos limites, desde que o limite do denominador não seja zero (o que não é o caso aqui, já que é -1).
Então:
Resposta
O limite quando
tende a 0 da função
é 0.